三重積分が解けません。

D={(x,y) : x≧o, y≧0, z≧0, x^2+y^2+z^2≦a}のもとで、∫xyz dxdydz を求めよ。

なるべく詳しく解説していただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2014/01/26 11:03

x^2+y^2+z^2≦aは半径√a,中心が原点O(0,0)の球体である。

球座標
　x=r cos(s)sin(t), y=r sin(s)sin(t), z=r cos(t)
に座標変換する。
積分領域Dよりx≧o, y≧0, z≧0（第一象限）なので
　0≦r≦√a, 0≦s≦π/2, 0≦t≦π/2
ヤコビアン|J|=r^2 sin(t)
xyzdxdydz=r^3 cos(s)sin(s)sin^2(t)cos(t) r^2sin(t) drdsdt
=(1/4)r^5 sin(2s)sin(2t)cos(t) drdsdt
=(1/8)r^5 sin(2s){sin(3t)+sin(t)}drdsdt
より
∫∫∫[D] xyz dxdydz
=(1/8)∫[0,√a]r^5 dr∫[0,π/2]sin(2s)ds∫[0,π/2] {sin(3t)+sin(t)} dt
=(1/8)(1/6)a^3 (1/2){1-cos(π)}{(1/3)+1}
=(1/36)a^3 ...(答え)

No.4 回答者： Ae610 回答日時： 2014/01/06 20:14

球座標(r,θ,φ)上で計算してみるのも良い・・!

x = rcosθsinφ
y = rsinθsinφ
z = rcosφ
0≦r≦√a , 0≦θ≦π/2 , 0≦φ≦π/2の積分範囲とヤコビアンを計算して、もとの積分式に当てはめる
計算結果はa^3/48 (計算間違えがなければ!?)

因みに質問で与えられている三重積分は球の1/8体積を表すものではない!
球の1/8体積をあらわす三重積分は(積分領域を[V]で表すとすると)
∫∫∫[V]dxdydz {V|(x≧0,y≧0,z≧0)∧x^2+y^2+z^2≦a}
・・・である

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/01/06 19:11

単純にx,y,zの順に積分するだけ。

xの範囲は0～√{a-(y^2+z^2)},yの範囲は0～√(a-z^2)。
xで積分するときはyとzは定数とみなしてよい。
大して難しい積分ではない。

No.2 回答者： shuu_01 回答日時： 2014/01/06 18:10

球の体積　4/3 π a^2 の 1/8 でないの？

円の面積は導けるの？

円の面積なら

x ＝ r sin θ とおいた置換積分の方法が

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/ci …

にわかりやすく説明されているし、

体積の求め方も Wikipedia に

http://ja.wikipedia.org/wiki/球

とあるから、組み合わせるだけでないの？

No.1 回答者： flicker1999 回答日時： 2014/01/06 18:01

わからん