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- - - - - - - - - 問題文 - - - - - - - - - - - - -
直線y=χ+1 に関して,点Pと対称な点Qをとる。
点Pが直線y=2χ 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。
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頑張ってみましたが、解けませんでした。どうかフォローを
お願いします。

私は、まず点Pが直線y=2χ上にあることから、P(t,2t)とおき、
これを通り直線y=χ+1 に垂直な直線を求め、また点Pと点Qの中点が
y=χ+1 上であることを使って解こうとしましたが、どうやら
Pのおき方がまずかったようです・・・

A 回答 (2件)

まず、次のように定義してみます。


直線A:点Pがある直線(y=2x)
直線B:y=x+1
直線C:点Qがある直線(y=ax+b)

点Pは直線A上にあるので、適当にP(3,6)などと決めてしまいましょう。
そして点Pを通り、直線Bに垂直な直線Dの式を求めます。
「互いに垂直となる直線の傾きの積は-1」なので、
直線D:y=-x+d
となり、点Pを通るのですから
  6=-3+d  よってd=9
直線D:y=-x+9
となります。

次に、直線Dと直線Bの交点Rを求めてみましょう。
直線B:y=x+1・・・(1)
直線D:y=-x+9・・・(2)
(1)+(2)で2y=10 よってy=5 さらにx=4 よって点R(4,5)

点Qの座標は点Pと、直線Bについて線対称であるので、
(点Rのx座標-点Pのx座標)=(点Qのx座標-点Rのx座標)
です。これより、
  4-3=Qx-4
  Qx=5
点Qは直線D上にあるので、
  Qy=-5+9=4
よって点Qの座標は(5,4)となります。

ここまでで点P(3,6)のとき、点Q(5,4)となることがわかりました。・・・(3)

さて、ここで直線Aと直線Bの交点を求めてみましょう。
直線A:y=2x・・・(4)
直線B:y=x+1・・・(5)
(4)-(5)で 0=x-1 よってx=1、y=2となります。
この交点は、点Pの軌跡にも点Qの軌跡にも共通の点であるので、(3)でわかった
点Q(5,4)とこの交点(1,2)を通る直線が、点Qの軌跡となります。
点Qの軌跡である直線Cは
直線C:y=ax+b
なので、連立方程式をたててみると

2=a+b・・・・(6)
4=5a+b・・・・(7)

となります。(6)-(7)より
  -2=-4a よって a=1/2
これにより b=3/2 となりますので、

点Qの軌跡の直線Cは
直線C: y=(1/2)x+(3/2)
となります。
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この回答へのお礼

なるほど。おかげさまで解決できました。
ご丁寧な解説本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/03 13:05

求める点の軌跡は直線に対するものですから、


直感的に直線になりますよね
(証明しろというのであれば、空間全体を直線y=χ+1
 に対して対称変換しても、
 点の距離や直線の交わり具合が変わらないからと答えるのかな??)。
直線は2点がきまれば全部決まっちゃうわけですから、
求めやすい点を選んで、その2点を求めれば
いいんじゃないでしょうか。
(あるいは、原点をx方向に1だけシフトして、xとyを入れ換えて、再び、
 原点をx方向に-1だけシフトしてもいいかも)
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この回答へのお礼

アドバイス本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/03 13:36

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Aベストアンサー

簡単な図を描いて位置関係を把握してください。

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点(2,3)と直線x+y+1=0との距離dをまずは求めます。(点と直線の距離の公式)
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√5+最小値PQ=3√2
最小値PQ=3√2-√5


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