- - - - - - - - - 問題文 - - - - - - - - - - - - -
直線y=χ+1 に関して,点Pと対称な点Qをとる。
点Pが直線y=2χ 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

頑張ってみましたが、解けませんでした。どうかフォローを
お願いします。

私は、まず点Pが直線y=2χ上にあることから、P(t,2t)とおき、
これを通り直線y=χ+1 に垂直な直線を求め、また点Pと点Qの中点が
y=χ+1 上であることを使って解こうとしましたが、どうやら
Pのおき方がまずかったようです・・・

A 回答 (2件)

まず、次のように定義してみます。


直線A:点Pがある直線(y=2x)
直線B:y=x+1
直線C:点Qがある直線(y=ax+b)

点Pは直線A上にあるので、適当にP(3,6)などと決めてしまいましょう。
そして点Pを通り、直線Bに垂直な直線Dの式を求めます。
「互いに垂直となる直線の傾きの積は-1」なので、
直線D:y=-x+d
となり、点Pを通るのですから
  6=-3+d  よってd=9
直線D:y=-x+9
となります。

次に、直線Dと直線Bの交点Rを求めてみましょう。
直線B:y=x+1・・・(1)
直線D:y=-x+9・・・(2)
(1)+(2)で2y=10 よってy=5 さらにx=4 よって点R(4,5)

点Qの座標は点Pと、直線Bについて線対称であるので、
(点Rのx座標-点Pのx座標)=(点Qのx座標-点Rのx座標)
です。これより、
  4-3=Qx-4
  Qx=5
点Qは直線D上にあるので、
  Qy=-5+9=4
よって点Qの座標は(5,4)となります。

ここまでで点P(3,6)のとき、点Q(5,4)となることがわかりました。・・・(3)

さて、ここで直線Aと直線Bの交点を求めてみましょう。
直線A:y=2x・・・(4)
直線B:y=x+1・・・(5)
(4)-(5)で 0=x-1 よってx=1、y=2となります。
この交点は、点Pの軌跡にも点Qの軌跡にも共通の点であるので、(3)でわかった
点Q(5,4)とこの交点(1,2)を通る直線が、点Qの軌跡となります。
点Qの軌跡である直線Cは
直線C:y=ax+b
なので、連立方程式をたててみると

2=a+b・・・・(6)
4=5a+b・・・・(7)

となります。(6)-(7)より
  -2=-4a よって a=1/2
これにより b=3/2 となりますので、

点Qの軌跡の直線Cは
直線C: y=(1/2)x+(3/2)
となります。
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この回答へのお礼

なるほど。おかげさまで解決できました。
ご丁寧な解説本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/03 13:05

求める点の軌跡は直線に対するものですから、


直感的に直線になりますよね
(証明しろというのであれば、空間全体を直線y=χ+1
 に対して対称変換しても、
 点の距離や直線の交わり具合が変わらないからと答えるのかな??)。
直線は2点がきまれば全部決まっちゃうわけですから、
求めやすい点を選んで、その2点を求めれば
いいんじゃないでしょうか。
(あるいは、原点をx方向に1だけシフトして、xとyを入れ換えて、再び、
 原点をx方向に-1だけシフトしてもいいかも)
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この回答へのお礼

アドバイス本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/03 13:36

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Qいろいろな軌跡

 日本語を勉強中の中国人です。「焼けたアスファルトには配達夫のわだちが残っている」という文をきっかけに、この世のいろいろな目で見える軌跡を探したくなりました。いま思いついたのは次のようなものですが、何か思いつかれるものがありましたら、ぜひ教えてください。美しい軌跡でも、醜い軌跡でも、長い軌跡でも、短い軌跡でも、長く残っている軌跡でも、短い時間しか残っていない軌跡でも、何の軌跡でも歓迎します。また、質問文に不自然なところがありましたら、ご指摘いただければありがたく思います。よろしくお願いいたします。

1.船の後ろの白い航跡
2.飛行機雲
3.蛍
4.流れ星
5.花火
6.真っ白な雪の地面の足跡

Aベストアンサー


・純白の雪上に残されたスキーの滑走跡
・かたつむりやなめくじの這った跡
・頬に伝わる涙
・ダイバーが海中で発する気泡
・ロケット打ち上げ時の噴射跡
・桜の花びらが散るように降る初冬の雪
・夜空を飛ぶ飛行機の尾灯
・浜辺に打ち寄せる波が作る砂紋
・激しく振られている犬の尻尾
・熱帯雨林を行く黒人の背に流れる汗


{いま思いついたのは次のようなものですが、何か思いつかれるものがありましたら、ぜひ教えてください。}
「思いつく」という語が続くので、
『いま思いついたのは次のようなものですが、【みなさんが】何か思いつかれるものがありましたら、ぜひ教えてください。』または、
『【私が】いま思いついたのは次のようなものですが、【他に何か思いつくものがございましたら】、ぜひ教えてください。』
などとするほうが落ち着きが良くなるでしょう。


最近見つけて時々拝見しているサイトがあります。
お気が向きましたら覗いてみてください。
よくわからない箇所もありますが、わかりやすい箇所もあり、ちょっと面白く感じています。
 

参考URL:http://www.philosophy.gr.jp/contents/seminar/materialism/001.html


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{いま思いついたのは次のようなものですが、何か思いつかれるものがありましたら、ぜひ教えてください。}
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Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
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だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

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⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q閃の軌跡について※ネタバレあり

空の軌跡1、2、3rd、零、碧をプレイし、閃の軌跡も買おうとしていたのですが、あまりにもロード時間が長いなどとレビューに書き込まれていたので、金銭的事情もあり閃の軌跡1はプレイしていません。
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個人的な感想でかまいませんので、ぜひお聞かせください。
※ネタバレもOKとさせてください。ちなみに、質問者は空の軌跡シリーズのSCが一番思い出に残っています。

Aベストアンサー

 空の軌跡以降すべてプレイしています。閃の軌跡も1と2両方クリアしています。ファンとしてはプレイしたほうがいいと思います。閃シリーズは一応終了しましたが、軌跡シリーズは続くのでここでプレイしておかないと以降の作品で閃に関する話やキャラが出てきても理解できないからです。レビューではいろいろ書かれていますが、過去の軌跡シリーズをプレイして面白いと思えたなら損はないと思います。ロードに関しては1と2共にアップデートで問題はありません。後、購入はしないがストーリーが気になるならyou tubeのプレイ動画を確認するという方法もあります。
 追伸:自分もSCは大好きです。いまPS PlusでSCがフリープレイできるので加入しようか考えています。ちなみにPS Plusに加入していると閃の軌跡IIの体験版がプレイできますよ。

Q数学の質問です。   問題 放物線y=-x^2+x+2上の任意の点をP、 直線y=-2x+6上の任

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問題
放物線y=-x^2+x+2上の任意の点をP、 直線y=-2x+6上の任意の点をQとする。
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Q数学軌跡

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Q数学Ⅱ 円と直線問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0直線l: y=-x+k が異

数学Ⅱ 円と直線

問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
直線l: y=-x+k が異なる2点で交わるkの範囲は
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また、lがCによって切り取られる線分の長さが2であるとき、定数kの値を求めよ。

解答、Cの中心をC,
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線分ABの中点をM とする。

CM=√AC∧2-AM∧2=1

よって |k-3|/√2 =1

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|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

Aベストアンサー

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


点A(x₁,y₁) と 直線 ax+by+c=0 との距離dは

d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

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(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
三角形CAMは、∠CMA=90° の直角三角形だから、三平方の定理より
CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
│k-3│/√2=1
になります。

Q英雄伝説 空の軌跡

「英雄伝説 空の軌跡 the 3rd」と「英雄伝説 空の軌跡SC」って内容繋がってますか!?
「英雄伝説 空の軌跡SC」と「英雄伝説 空の軌跡FC」もつながってますか!?

Aベストアンサー

FC→SC→3rdの順につながっています。
また、余談としてSCを始める時、前作のFCのセーブデータがある場合FCの終了時点のレベルに応じて、SCの初期レベルが変動したり初期アイテムが付いてきます。そして、FCのサブイベント発生状況によって、SCのイベントに影響を与えます。
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Q¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるとき

¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるときのmの範囲として正しいものは,次のうちどれか?£

¢[解説] 直線の方程式を円の方程式に代入して整理すると、(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0。この2次方程式が、異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。これより、m(3m-4)<0 ゆえに0<m<4/3£

「判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。」が理解できません。説明をお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0ならば、実数解は 1つ(重解)
・0より小さければ、実数解はなし

となって、b^2- 4acが「判別式」と呼ばれます。

「完全平方」を使って「解の公式」が導き出せれば、判別式も導き出せます。^^


点と直線の距離を使う方法もありますが、共有点を持つという条件からは同じです。
この解法も場合によっては簡単になる場合もあるので、押さえておいた方がいいですね。^^

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0なら...続きを読む

Q英雄伝説碧の軌跡について

前々から英雄伝説をやってみたかったので今回発売される「英雄伝説 碧の軌跡」を予約したのですが…

後々でネットで調べた結果「前作の続編!?」
って感じになり、成り行きで前作をプレイすることになったのですが…
英雄伝説シリーズでは7作?軌跡シリーズでは三部構成なうえに空の軌跡は「FC」「SC」「3rd」とまたわかれてる?のかな?

Wikipediaで調べてもどれからやれば碧の軌跡のストーリーを理解できるかまったく分かりません(>_<)

誰か教えて下さい
お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

予約する前に調べろよ・・・。

ってツッコミは置いといて、今回の新作「碧の軌跡」は、「零の軌跡」の続編です。
逆に、「零の軌跡」に辿り着くためには、「空の軌跡」をフルコンプすればいい。

「3rd」はただのファンディスクです。面倒なら省略しても、さほど問題ない。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%8B%B1%E9%9B%84%E4%BC%9D%E8%AA%AC

ここを読めば一目瞭然なのだが・・・。

Q2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4=0のなす角の二等分線のうちで、傾きが正の直線

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★次の直線の方程式を、軌跡の考えを用いて求めよ。
(1)2直線3x+2y-5=0,2x-3y+4=0のなす角の二等分線のうちで、傾きが正の直線
(2)直線y=2xに関して、直線2x+3y=6と対称な直線

この問題について説明またはヒントを教えてください。

Aベストアンサー

#1です。
A#1で
(1)の別解のやり方
添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。

[1]
直線 3x+2y-5=0(黒線)と
直線 2x-3y+4=0(青線)
の交点P(7/13,22/13)を求める。
交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。

[2]
黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円(半径r=3/√13))を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。
円の方程式は
(x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13
です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。

[3]
ABの中点M(29/26,41/26),ACの中点N(11/26,29/26)の座標を求め
PとMを結ぶ緑の直線 と PとNを結ぶ紫の直線
の内の傾きが正の方の直線(紫の直線)を求める。
この直線が題意の2等分線(y=5x-1)になる。
2点 P(7/13,22/13)とN(11/26,29/26) を通る直線の式は分かりますね。
式を簡単化して答えとします。

注)#2さんの答えの直線の式と一致しますので合っているでしょう。

#1です。
A#1で
(1)の別解のやり方
添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。

[1]
直線 3x+2y-5=0(黒線)と
直線 2x-3y+4=0(青線)
の交点P(7/13,22/13)を求める。
交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。

[2]
黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円(半径r=3/√13))を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。
円の方程式は
(x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13
です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。
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