- - - - - - - - - 問題文 - - - - - - - - - - - - -
直線y=χ+1 に関して,点Pと対称な点Qをとる。
点Pが直線y=2χ 上を動くとき,点Qの軌跡を求めよ。
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

頑張ってみましたが、解けませんでした。どうかフォローを
お願いします。

私は、まず点Pが直線y=2χ上にあることから、P(t,2t)とおき、
これを通り直線y=χ+1 に垂直な直線を求め、また点Pと点Qの中点が
y=χ+1 上であることを使って解こうとしましたが、どうやら
Pのおき方がまずかったようです・・・

A 回答 (2件)

まず、次のように定義してみます。


直線A:点Pがある直線(y=2x)
直線B:y=x+1
直線C:点Qがある直線(y=ax+b)

点Pは直線A上にあるので、適当にP(3,6)などと決めてしまいましょう。
そして点Pを通り、直線Bに垂直な直線Dの式を求めます。
「互いに垂直となる直線の傾きの積は-1」なので、
直線D:y=-x+d
となり、点Pを通るのですから
  6=-3+d  よってd=9
直線D:y=-x+9
となります。

次に、直線Dと直線Bの交点Rを求めてみましょう。
直線B:y=x+1・・・(1)
直線D:y=-x+9・・・(2)
(1)+(2)で2y=10 よってy=5 さらにx=4 よって点R(4,5)

点Qの座標は点Pと、直線Bについて線対称であるので、
(点Rのx座標-点Pのx座標)=(点Qのx座標-点Rのx座標)
です。これより、
  4-3=Qx-4
  Qx=5
点Qは直線D上にあるので、
  Qy=-5+9=4
よって点Qの座標は(5,4)となります。

ここまでで点P(3,6)のとき、点Q(5,4)となることがわかりました。・・・(3)

さて、ここで直線Aと直線Bの交点を求めてみましょう。
直線A:y=2x・・・(4)
直線B:y=x+1・・・(5)
(4)-(5)で 0=x-1 よってx=1、y=2となります。
この交点は、点Pの軌跡にも点Qの軌跡にも共通の点であるので、(3)でわかった
点Q(5,4)とこの交点(1,2)を通る直線が、点Qの軌跡となります。
点Qの軌跡である直線Cは
直線C:y=ax+b
なので、連立方程式をたててみると

2=a+b・・・・(6)
4=5a+b・・・・(7)

となります。(6)-(7)より
  -2=-4a よって a=1/2
これにより b=3/2 となりますので、

点Qの軌跡の直線Cは
直線C: y=(1/2)x+(3/2)
となります。
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この回答へのお礼

なるほど。おかげさまで解決できました。
ご丁寧な解説本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/03 13:05

求める点の軌跡は直線に対するものですから、


直感的に直線になりますよね
(証明しろというのであれば、空間全体を直線y=χ+1
 に対して対称変換しても、
 点の距離や直線の交わり具合が変わらないからと答えるのかな??)。
直線は2点がきまれば全部決まっちゃうわけですから、
求めやすい点を選んで、その2点を求めれば
いいんじゃないでしょうか。
(あるいは、原点をx方向に1だけシフトして、xとyを入れ換えて、再び、
 原点をx方向に-1だけシフトしてもいいかも)
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この回答へのお礼

アドバイス本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/06/03 13:36

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宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

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=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

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よって |k-3|/√2 =1

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|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

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|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


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です。

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(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
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線分ABの中点をM とする。
と、
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CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
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「判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。」が理解できません。説明をお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0ならば、実数解は 1つ(重解)
・0より小さければ、実数解はなし

となって、b^2- 4acが「判別式」と呼ばれます。

「完全平方」を使って「解の公式」が導き出せれば、判別式も導き出せます。^^


点と直線の距離を使う方法もありますが、共有点を持つという条件からは同じです。
この解法も場合によっては簡単になる場合もあるので、押さえておいた方がいいですね。^^

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

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Aベストアンサー

#1です。
A#1で
(1)の別解のやり方
添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。

[1]
直線 3x+2y-5=0(黒線)と
直線 2x-3y+4=0(青線)
の交点P(7/13,22/13)を求める。
交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。

[2]
黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円(半径r=3/√13))を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。
円の方程式は
(x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13
です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。

[3]
ABの中点M(29/26,41/26),ACの中点N(11/26,29/26)の座標を求め
PとMを結ぶ緑の直線 と PとNを結ぶ紫の直線
の内の傾きが正の方の直線(紫の直線)を求める。
この直線が題意の2等分線(y=5x-1)になる。
2点 P(7/13,22/13)とN(11/26,29/26) を通る直線の式は分かりますね。
式を簡単化して答えとします。

注)#2さんの答えの直線の式と一致しますので合っているでしょう。

#1です。
A#1で
(1)の別解のやり方
添付図ような図を描きながら解いて行くといいでしょう。

[1]
直線 3x+2y-5=0(黒線)と
直線 2x-3y+4=0(青線)
の交点P(7/13,22/13)を求める。
交点は2つの直線の連立方程式を解いて求めます。

[2]
黒直線上の点A(1,1)をとり、Pを中心としAを通る円(半径r=3/√13))を描き、青直線との交点B(16/13,28/13),C(-2/13,16/13)を求める。
円の方程式は
(x-7/13)^2+(y-22/13)^2=9/13
です。この円の式と青直線の式を連立にして解けば交点B,Cの座標が求まります。
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