整数環　０×∞　再び

Question

以下において、数はすべて整数とします。

整数環の規則に従って計算する時、
問題１：この式は正しいですか？
　1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞
　Σ[k=1,∞]1 + 1 = ∞

□私の考え
　Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ...
であり、εδを使って表すなら
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)
により、「任意の整数より大きな値となる」ことが示されます。
このことを
　Σ[k=1,∞]1 = ∞
などと表します。（通常の等式でないことに注意）

問題１の式は、いずれもこれに 1 を加えたものなので、これより小さくはありません。
よって、「任意の整数より大きな値となる」ことが示されます。

問題２：この式は正しいですか？
　0 × Σ[k=1,∞]1 = 0

□私の考え
乗法は
　a × b = Σ[k=1,b]a
で定義されています。ただし、b = 0 ならば
　a × 0 = 0
です。（aとbを逆にする考え方もある）

たとえば
　2 × 3 = Σ[k=1,3]2 = 2 + 2 + 2 = 6
になります。

任意の正数xにおいて
　Σ[k=1,x]1 = x
であるから、問題２の式は
　0 × Σ[k=1,∞]1 = Σ[l=1,Σ[k=1,∞]1]0 = Σ[l=1,∞]0 = 0 + 0 + 0 + ... = 0
となります。εδを使って表すなら
　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ |Σ[l=1,Σ[k=1,x]1]0|<ε)
により、0 であることが示されます。

あるいは、分配法則を使うことで、直接
　0 × (1 + 1 + 1 + ...) = 0 + 0 + 0 + ... = 0
を示すことができます。

なお、∞を新たな元と考えた場合については、「自然数　０×∞　集合を使って」
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8531927.html
で示した通りです。ここでは、その考えは取りません。

stomachman · Accepted Answer

ANo.2へのコメントについてです。

> ここまでは、問題ありません。
 > 重要なのは、これが 
> >　Σ[k=1,∞]1 = ∞ 
> という式の意味するものだということです。

ANo.2の[2]において、まさにその通りのことを書きました。ご確認下さい。

> 私は、左辺が変化したことにより、同じ規則で
 > 　　1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞ > を変換すると
 > 　∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ 1 + Σ[k=1,x]1>ε))) 
> という意味になると考え、">ε"の左は 1 を加えただけの違いだから元の命題が真ならこれも真だと言ってるのですが。 
> ∞は、論理式に変換する必要性を示す単なる記号です。

ようやく話が見えてきました。
　なるほど。「Pの中にある”Σ[k=1,x]1”を"1 + Σ[k=1,x]1"で置き換えたもの」を「1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞」と表記するという意味だったんですね。
　（となると、少なくとも、「”1+Σ[k=1,x]1”, "=", "∞"にそれぞれ自明の意味があるなんて思っちゃ駄目なんだ」という点については、ANo.2の[3]に書いた通りだったようです。）

じゃ、仰るところを形式化してみましょう。
　ただ、置き換えるとは言っても、"Σ[k=1,x]1"に出て来る変数xは束縛変数ですから、これをまるごと"1 + Σ[k=1,x]1"で差し替えるというわけには行きません。その事情を具体的に説明しますと、述語
　　Q(X) = ∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ X>ε)))
を考えて、命題Q(Σ[k=1,x]1)や命題Q(1 + Σ[k=1,x]1) を作る、ということを考えても、それは（束縛変数の文字とダブってる文字を含む式は代入できない、という規則があるから）反則になっちゃう。反則を回避するには、Q( )の中の束縛変数xを別の文字yに置き換えて（こうしても述語は同一です）、それから代入をすればいいんですが、すると、
　　Q(Σ[k=1,x]1) = ∀ε∃δ∀y(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((y∈Z' ∧ y>δ) ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)))
ということになって、これは「元の命題」とは似ても似つかない。だから、この手は使えないんです。

そうする代わりに、
　　R(c) = ∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ c + Σ[k=1,x]1>ε)))
という述語を考えて、
　　R(0) = ∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ 0 + Σ[k=1,x]1>ε)))
　　R(1) = ∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ 1 + Σ[k=1,x]1>ε)))
　　：
とやるのが良いでしょう。これなら、
　　∀x(x∈Z' ⇒ 0 + Σ[k=1,x]1 = Σ[k=1,x]1)
と
　　∀c(c∈Z'∪{0} ⇒ R(c))
さえ示せば十分で、これらは
　　∀x(x∈Z' ⇒ Σ[k=1,x]1 = x)
を用いれば自明です。
　なので、結局
　　∀c(c∈Z'∪{0} ⇒ ∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ c + Σ[k=1,x]1>ε))))
という命題が得られ、もちろん、真である。（実際、δ=εとすれば良いのですから。）
　同じ処置をR(0), R(1)にも適用してみれば、
　　R(0) = ∀ε∀x((ε∈Z' ∧ x∈Z' ∧ x>ε) ⇒ x>ε)
　　R(1) = ∀ε∀x((ε∈Z' ∧ x∈Z' ∧ x>ε) ⇒ 1 + x>ε)
となるわけで、当然ながらこれらは真です。

ともあれ、これで、毎度毎度「論理式に変換する」なんてことを持ち出さなくて良くなりました。なぜなら、「論理式に変換する」ことで作られる論理式R(c)はどんなcについても真であることが、予め証明されたからです。ということは、「Σ[k=1,∞]1 = ∞」だなんてクソ紛らわしい表記の存在意義も、きれいさっぱり消滅した訳です。
　再確認すると、
　　「Σ[k=1,∞]1 = ∞」とは命題R(0)のこと。
　　c∈Z'のとき、「c+Σ[k=1,∞]1 = ∞」とは命題R(c)のこと。

そこでご質問に戻りますと、問題1の前半の
　　1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞ は正しいか？
というのは、紛らわしい表記をやめれば
　　命題R(1)は真か？
というだけの問いであり、答はもちろんyes。（後半も上記と同様にして処理できますね。）

結局、ご質問の問題1の意味を明らかにしてみれば、それは無限大とは全く何の関係もない単純な命題でした。
　問題2の方は、「0 × Σ[k=1,∞]1 = 0」ってのが、どんな命題をどう構成するということを意味するのか、明確な説明がなされてませんが、おそらく同じように単純な命題を意味するだけなんでしょう。
　どうやら、質問の意図を買い被っちゃったようで、いやはや、超準解析を持ち出したのは勇み足の失敗でした。

uyama33 · Answer

質問者にお願いですが、
用語をロビンソンの超準解析の用語にしてもらえませんでしょうか？

質問の意味をなかなか理解できません。
超準解析の用語ならばもう少しお互いに理解して議論できると思うのです。
４，５冊読めば済むことです。

よろしくお願いします。

stomachman · Answer

ANo.3 へのコメントについてです。

> 無限大と無関係なのは十分に示したつもりだったのですが

おお、そういうおつもりだったんですか。（一体どこに書いてあるんだか見つけられませんが、それはさておき、）ならば、

>1 + 1 + 1 + ...

だの

> 0 + 0 + 0 + ...

という表記もまた、有限個の項の和であるというおつもりだったのでしょう。あ、いや、それどころか、整数の和なんぞとは全然関係のない何かの命題を表記した文字列の一部分だ、というおつもりだったに違いありません。

stomachman · Answer

ANo.1への補足についてです。

[1]

> なお、「任意の整数より大きな値となる」という表現は不完全であり、正確にはεδで示す通りです。

> 私たちは、εδを使えば「任意の整数より大きな値となる」も扱えます。 
> 回答内容は、それを否定してるように思います。

あらら。「任意の整数より大きな値となる」とお書きなのは正しくない表現でしたか。ANo.1は、この表現が文字通りに正しいと主張なさっているんだと思って書いたもんですから、冒頭の部分がご質問の意図にそぐわなくなってしまったようです。
　つまり、ANo.1の回答内容が否定しているのは、「任意の整数より大きな値となる」の文字通りの意味だけです。しかし、「任意の整数より大きな値となる」の真意は、論理式に依って定めてあるということなんですね。
　では、検討してみましょう。

=================================

[2]

整数の集合をZ、正の整数の集合をZ'と書く事にします。するとZ'の順序に関する性質
　　∀ε∃δ(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ δ>ε))
　　∀x∀y∀z((x∈Z' ∧ y∈Z' ∧ z∈Z' ∧ y>z ∧ x≧y) ⇒ x>z)
を用いれば
 　　∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ x>ε)))
が導けるから、ここでΣ[k=1,x]1の性質
　　∀x(x∈Z' ⇒ Σ[k=1,x]1=x)
を使えば、以下のことが言えます。すなわち
命題Pを
　　P = ∀ε∃δ∀x(ε∈Z'⇒ (δ∈Z' ∧ ((x∈Z' ∧ x>δ) ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)))
とするとき、Pは真である。

Pを∀や∃に関する略記を使って書くなら
　　P = ∀ε∈Z', ∃δ∈Z', ∀x∈Z', ( x>δ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)))
であり、このPはご質問にお書きの命題
　　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)
において「ε, δ, xは整数である」という条件を明記したものに他ならないのをご確認下さい。
　つまり、「任意の整数より大きな値となる」の真意とは、Pのことである。

ここまでは単に、良く知られた整数の性質Pを述べているだけですね。

> このことを
 >　Σ[k=1,∞]1 = ∞ 
> などと表します。（通常の等式でないことに注意）

「このこと」すなわち、「命題Pが真である」ということを"Σ[k=1,∞]1 = ∞"という文字列で表すということですね。（そして、Pは実際に真なのだから、"Σ[k=1,∞]1 = ∞"と、Pと、「真」とはどれも同じ意味です。）

ここまでに、おかしいところは何もないし、目新しいことも何もない。

=================================

[3] 
　さて、これまた当たり前のことですけれども、"Σ[k=1,∞]1 = ∞"という文字列の一部分、たとえば"=1,∞"だの、" ]1 = "だの、"[k=1,∞]1"だのだけでは、何も意味しません。同様に、この文字列の一部分"Σ[k=1,∞]1"が何かのモノを表しているわけでは（まだ）ない。意味がないのだから、当然、その意味する対象が整数であると主張することも（まだ）できません。
　たとえば、問題１に書いてある文字列
　　1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞
において、幾ら
　　「左辺は Σ[k=1,∞]1 に 1 を加えたものなので、 Σ[k=1,∞]1 より大きい」
と言いたくても、" Σ[k=1,∞]1 "が意味不明ですから、左辺 "1 + Σ[k=1,∞]1"も意味不明。そして、"1 + Σ[k=1,∞]1 = ∞"という表記全体もまた意味不明です。
　いや、この文字列には確かに意味が決まっている部分がある。つまり、"Σ[k=1,∞]1 = ∞" という文字列の左に"1+"を付けたものと見ることができます。"Σ[k=1,∞]1 = ∞" とはPという意味ですから、上記の文字列は
　　1+P
と同じことです。で、（整数環の演算+によって）命題に1を足す、という式はやはり意味を持ちません。

要するに、"0 × Σ[k=1,∞]1 = 0" や"1+ Σ[k=1,∞]1 = Σ[k=1,∞]1"が整数に関する式であるためには、前提として
　　「Σ[k=1,∞]1は整数である」（もっとうるさく言うなら「"Σ[k=1,∞]1 "という文字列が表す対象は整数である」）
という命題が真であることが必要です。いくら
　　Σ[k=1,∞]1 = 1 + 1 + 1 + ... 
と主張してみても、"1 + 1 + 1 + ..."が何なのかが定義されていないのだから、これも (意味不明のものA) = (意味不明のものB) という等式に過ぎず、残念ながらナンセンスです。

ここんとこを正しくやるには、
　　∃p(p∈Z ∧ pに関するナンラカの性質)
を証明した上で、「そのpを"Σ[k=1,∞]1"と書く」と定義することによって、文字列"Σ[k=1,∞]1"に意味を与えるのでなくてはなりません。こうすることによってようやく「Σ[k=1,∞]1が存在して、かつ、Σ[k=1,∞]1∈Zである」ということが保証されるわけです。

この「pに関するナンラカの性質」として、具体的に、たとえば p=0 を考えてみましょう。
　「∃p(p∈Z ∧ p=0) を証明して、そのpを"Σ[k=1,∞]1"と書く」と定義することで"Σ[k=1,∞]1"に意味を与えると、もちろん
　　Σ[k=1,∞]1 = 0
です。だから、"Σ[k=1,∞]1"とは0のことだと定義したわけです。
　さて、（ここからが重要なんですけど）Σ[k=1,∞]1 = 0 である場合でも、命題P
　　∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x>δ ⇒ Σ[k=1,x]1>ε)
が真になることをご確認下さい。
　（ってか、確認するまでもなく、）Pは真であることが分かっているのでした。もう少し詳しく見てみますと、Pの中に"Σ[k=1,∞]1"という表現は出て来ないから、PはΣ[k=1,∞]1とは無関係である。つまり、PはΣ[k=1,∞]1に関して何も言っていませんから、Σ[k=1,∞]1をどう定義しようが、そんなことには関係なくPは真だという訳です。
　もちろん、ここでは Σ[k=1,∞]1 = 0 ですから
　　Σ[k=1,∞]1 > 0
は偽ですね。
　結局、"Σ[k=1,∞]1"とは0のことだと定義しても、ANo.1の補足にお書きになったお説の展開に何の不都合もない。

============================

[4] 
　ご質問およびANo.1への補足にお書きの"Σ[k=1,∞]1"という表記で意図なさっているのは、（もちろん、Σ[k=1,∞]1 = 0 ということではなく）おそらく「 Σ[k=1,x]1 という式において、xを∞にしたもの」のことでしょう。「Pの中に"Σ[k=1,∞]1"という表現は直接には出て来ないけれども、xを∞にすることも含めて" Σ[k=1,x]1" と書いてあるんだ」というキモチなのだろうと推察します。

ここで、Σ[k=1,x]1 はx∈Z'である場合になら意味を持ち、すなわち
　　Σ[k=1,x]1 = x
である。しかし∞は整数ではないから、xを∞で置き換えた "Σ[k=1,∞]1" には残念ながら意味が定まらない。当然、
　　Σ[k=1,∞]1=∞
という表現も（正しいかどうか以前に）意味が定まらない。
　ここんとこの具合の悪さをなんとかしたい、ってんで、いろいろ考察なさってるのだろうと思います。

ただし、Z∪{∞, -∞}を考えるということはしない、と（ご質問の末尾で）仰っています。この手を採用なさらない理由は、きっと、 ∞+1=∞ にしたのではZ∪{∞, -∞}が環をなさないからでしょう。

さて、ANo.1でご紹介した超整数Z*は(+, ×, ≧)について整数Zの拡大であり、無限個の無限大を含む順序集合であり、そして環になっています。ご質問の問題意識ととても良く整合しているように感じるんですがね。ちょっと回り道をして、超準解析学を少し調べてみては如何でしょう。
　微積分学が構築される過程で、無限大と無限小の矛盾のない扱いについて先人達がさんざん苦労した挙げ句、ε-δ論法という、いささか迂遠な方法によってなんとかねじ伏せた。しかし、後に発見された超準解析学において、無限小（と、その逆数としての無限大）を直接扱う方法が得られました。たとえば微分演算 dy/dx はそのまんま「超実数dxを、無限小である超実数dyで割り算したもの」という意味を持ちます。

stomachman · Answer

(1) Σ[k=1,∞]1 が「任意の整数より大きな値となる」のなら、Σ[k=1,∞]1 は整数ではない。（∵ 任意の整数より大きな整数はないから。）
(2) 整数ではないものを「整数環の規則に従って計算する」（つまり整数の上で定義された+, ×で演算する）という訳にはいかない。つまり、 1 + Σ[k=1,∞]1 も 0 × Σ[k=1,∞]1 も何も意味しないナンセンスな文字列である。
　…というわけで、お説は残念ながら成立ちません。

さて、お考えの理論に近いものと言えば、数学で言う所の「超準解析学」に出て来る、「非アルキメデス的集合」としての「超自然数」でしょう。（M.Davis「超準解析」(培風館, 1982)は、わかりやすい教科書です。）超自然数は自然数全体の集合に「無限大」であるような無限個の元を追加したもので、演算+, ×も大小関係も超自然数上に拡張されます。逆に言えば「無限大でない超自然数n」というものが、普通の自然数nと同一視できるわけです。もちろん、

●  任意の超自然数xについて、xが無限大なら、y＞xである任意の超自然数yも無限大である。
●  任意の超自然数xについて、xが無限大なら、無限大でない任意の超自然数yは x＞yを満たす。

同様に、超整数、超有理数、超実数も作れる。けれども、完備化することはできない、というのがひとつの特徴です。さて、そんなモノが存在する、ということを証明するには、(0=∅, n+1 = n∪{n}という訳には行かず、）超積だのウルトラフィルタだの、おどろおどろしい名前の仕掛けを使わねばならないのですが、しかし存在が証明できてますから、それらの大仕掛けのことは忘れて構わない。

というわけで、仮に、お考えの理論の対象が、実は超自然数（あるいはそれに符号を付けた超整数）だったのだとしますと、そもそも Σ[k=1,∞]1 の[ ] の中に出て来る「∞」は許せない。だって、「∞」ってのは、いっぱいある無限大の中の一体どれのことなんだ？ しかし、Σ[k=1,∞]1 なんてものを持ち出すまでもなく、

●  任意の超自然数xについて、Σ[k=1,x]1  = x である。
●  任意の超自然数xについて、1+xもx+1も超自然数であり、1+x = x+1, x+1 ＞x　である。
●  任意の超自然数xについて、0×xもx×0も超自然数であり、0×x = 0, x×0 = 0 である。

これらは、xが無限大であるかどうかに関係なく成立ちますんで、お悩みも解消するんではなかろうか。

整数環 ０×∞ 再び

質問者にお願いですが、

ANo.3 へのコメントについてです。

ANo.2へのコメントについてです。

ANo.1への補足についてです。

(1) Σ[k=1,∞]1 が「任意の整数より大きな値となる」のなら、Σ[k=1,∞]1 は整数ではない。

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