いつも大変お世話になっております。
以下の導関数の問題を解いてみたのですが、
合っているかどうかご確認頂ければ幸いです。
******** 問題 ********
Find the critical numbers of f, the intervals on which f is increasing, and those on which f is decreasing, for f(x) = 5lnx - x. Then graph f.
Hint : Domain of f is (0 , ∞)
******** 問題終わり ********
どうぞよろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>f(x)=5lnx-x、0<x<∞だから
f'(x)=5/x-1>0、5>x>0でf(x)は増加
f'(x)=5/x-1<0、5<x<∞でf(x)は減少
f'(x)=0、x=5でf(x)は極値
f"(x)=-5/x^2<0だからf(x)のグラフは上に凸(∩)となり、
従ってx=5でf(x)は極大値5ln5-5をとる。
以上から、
the intervals on which f is increasingは
0<x<5
the intervals on whichf is decreasingは
5<x<∞
グラフは
f(5)=5ln5-5>0、x→+0でf(x)→-∞、x→∞でf(x)→-∞、
上に凸(∩)の諸条件から、x=0→∞でy軸に沿って増加し、
0<x<5でx軸と交差、x=5で極大>0、その後減少し、再度
x軸と交差して減少を続ける曲線となる(添付図参照)。
No.4
- 回答日時:
そこで y = 5 ln x ー x を微分してみます(導関数)
y ’= 5/x ー 1 は正解です
ここで半分以上の点数、貰えそうな気がします
既に回答のあるよう
y ’= (5 ー x)x は
0 < x < 5 で プラスなので、グラフは右肩上がり
x = 5 で頂点、最大値に達し、
5 < x でマイナスなので、グラフは右肩下がり
どんどん小さくなりますが、
x が無限大に大きくなると、y’は ー1 に近づき、
傾きも ー1 に近くなり、y は どんどん小さくなります
詳しい説明をありがとうございます。
きっと私は根本的に完全理解をしていないので、
(でも皆さんのおかげでなぜか試験では98点と95点が取れました!)
こういう説明は本当に助かります。
No.3
- 回答日時:
もう回答あるので、それはそれで良いとして、
今回の y = 5 Ln x ー x
を描くとき、y = 5 ln x と y = ーx を描きましょう
すると x が 0 に近づくと、y = 5 ln x は -∞ に
どんどん小さくなり、y = ーx は x = 0 の時、y = 0
ですので、足すと ー∞にどんどん小さくなります
x が 無限大に大きくなると、y = 5 ln x も無限大に
大きくなり、y = ーx は無限大に小さくなりますが、
y = 5 ln x は傾きがどんどん小さくなるので、
y = ーx の小さくなるのと比べ、負けそうな気がします
No.1
- 回答日時:
間違いだらけです。
f(x) = 5lnx - x
f'(x)=5/x-1
f'(x)=0となるのは
x=5
増減表は
x=0 f'(x)>0 f(x)=-∞
0<x<5 f'(x)>0 f(x): increase
x=5 f'(x)=0 f(x)=5(log5-1)=maximum
x>5 f'(x)<0 f(x):decrease
x=∞ f'(x)=-1 f(x)=-∞
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