教えてください。

斜面をすべる物体の運動の問題です。
物体がひとつの時は何とか理解できたんですが、その物体の上にもう1つ物体(質量は同じ)がのっている時の運動のようすが分かりません。
特にθ(しーた)が大きくなって両方とも動き出したときの力の関係が全然わかりません。

どなたか分かるもしくは詳しく解説しているページをご存知の方どうぞお願いします。 

A 回答 (3件)

斜面に沿ってx軸を取りましょう。

斜面下向きを正に取ります。
上の物体を物体A、下の物体を物体Bと呼ぶことにします。
物体Aと物体Bとの間の動摩擦係数尾をμ、斜面と物体Bとの間の動摩擦係数をμ’、とします。
この時μ’>μに注意してください。でないと、物体Aが物体Bより前へ滑り出す事はありえないからです。
今後物体Aと物体Bを区別する必要のある記号には物体Bにダッシュ(’)をつけます。

物体Aに働く力は
・重量の斜面並行成分(mg sinθ)
・物体1から受ける動摩擦力(-mμcosθ)

一方、物体Bに働く力は
・重力の斜面並行成分(mg sinθ)
・斜面との間の動摩擦力(-2mμ’ cosθ)←2mは斜面との間に2物体分の重さがかかっているから
・物体2から受ける動摩擦力(mμcosθ)←作用反作用の法則より

よって運動方程式ma=Fは
ma = mg sinθ + (-mμcosθ)
ma’ = mg sinθ + (-2mμ’ cosθ)+ mμcosθ
より
a = g sinθ - μcosθ
a’ = g sinθ - 2μ’ cosθ + μcosθ

2式の右辺は時間によらない定数なので一定。よって2つの物体は等加速度運動をする事になります。
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(追加)


a - a’ = (- μcosθ) - (- 2μ’ cosθ + μcosθ )
    = 2(μ’ - μ) cosθ
    >0    (∵μ’>μ)
よって、物質Aの方が加速度が大きい事になります。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
よく分かりました。

お礼日時:2001/06/06 19:22

「両方とも動き出した」というのは下の物体と上の物体との間でもずれが生じていると言う事でしょうか?


だとすると斜面と物体の動摩擦係数μと、物体と物体との動摩擦係数μ’の大小関係が問題になってきます。

これを場合分けして答えろと言う事ですか?それとも分かっているのであれば教えてください。

ちなみに上の物体と下の物体が同時に動くとすると、運動の様子は物体が1つの時と全く同じです。
何故ならば、質量が2倍になったことで動摩擦力も2倍になりますが、(動きにくさとしての)質量も2倍になるためです。
式で書くと
    F = mμ
に対し
    F = ma
よって
    μ = a
即ち加速度は質量によらず一定となるわけです。

この回答への補足

説明不足でした。
「両方とも動き出した」のまえ(小さいθ)にはもうAは滑り出していた、とあったのでおそらく二つの物体間にもずれが生じていたとおもいます。

補足日時:2001/06/06 08:21
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摩擦力や空気抵抗を考慮して加速度を計算した場合、実際に近い加速度がわかると言うことでしょうか?

もしそうなら、空気抵抗の計算は良くわからないので、摩擦力だけを考慮したらどういった加速度の計算式になるのか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず、誤解があるようです。
重い物体の方が軽い物体より速く落ちるわけではありません。
空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
多分、「重い物体」を鉄の玉、「軽い物体」を羽毛や紙、とした説明を聞いたのだと思います。
この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
でも、「重い物体」でも空気抵抗の影響が大きい形状をしているならば、必ずしも速く落ちるとは言えません・・・まあ、羽毛や紙よりかは速く落ちるでしょうけれど(^^;)
それから、斜面の場合でも一概には言えません。
全く摩擦の無い斜面ですと、物体は加速g・sinθ (θは斜面の傾き角)で滑り降りますが、
摩擦がある場合、物体と斜面の間で滑りが起こる場合と起こらない場合で加速度が異なってきます
  滑りが無い場合:加速度 (2/3)g・sinθ ただし、物体の形状が球のとき
  滑りがある場合:加速度 g(sinθ ー μcosθ) μ:動作摩擦係数 μの値は、物体と斜面の材質で決まります。
そんなわけで、重い物が速く転がって、軽い物が遅く転がるとは言えません。
例えば、斜面との摩擦が大きいゴム製の直方体と摩擦の小さい紙で作った同じ大きさの直方体
を斜面上において、同時に手を離したとします。
ゴム製の直方体は摩擦が大きくて、斜面上で静止し、
紙製の直方体はスーッと斜面上を滑り落ちていく、なんて事もあります。
確かに、斜面の実験で重力加速度を求めることは可能ですが、実験上の様々な事柄を考慮しないと、求めることはできません。

まず、誤解があるようです。
重い物体の方が軽い物体より速く落ちるわけではありません。
空気抵抗の大きさによっては、軽い物体の方が速く落ちます。
多分、「重い物体」を鉄の玉、「軽い物体」を羽毛や紙、とした説明を聞いたのだと思います。
この場合は、羽毛や紙の方が、空気抵抗の影響を大きく受けますので、したがって、ゆっくり落ちます。
でも、「重い物体」でも空気抵抗の影響が大きい形状をしているならば、必ずしも速く落ちるとは言えません・・・まあ、羽毛や紙よりかは速く落ちるでしょうけれど(^^;...続きを読む

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Q斜面と斜面を滑り降りる物体の運動

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床、斜面の摩擦は無視できる。
水平な床の上に質量M、傾きθ、の三角台Qの上に
質量mの小物体Pをのせる。
水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとり、重力加速度をgとする。

運動方程式
小物体のx、y軸方向の加速度=a、b
三角台のx、y軸方向の加速度=A、B
PとQの抗力=N、床とQの抗力=S
として
ma=-Nsinθ
mb=Ncosθ-mg
MA=Nsinθ
MB=S-Mg-Ncosθ
B=0
b=(a-A)tanθ

最後の式ですが、これを出すのにベクトルを使って、
Pの変位を(Δx、Δy)、Qの変位をΔXとして
Δy=(ΔX-Δx)tanθ・・・☆
二回tで微分して
b=(a-A)tanθ
とやるらしいのですが、☆の式が立てられないのですが説明していただけますか?

もうふたつ
1、PがL滑り降りたときのQの変位を求める問題。
2、そのときのPとQの運動エネルギーの和を求める問題。

がありまして、1、はまったくわかりません。

2、求めるエネルギーの式は
Pの各軸方向の速度をVx、Vy
同様にQの速度をVX、VY

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となるのですが
これを出すのに最初の運動方程式をつかって
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なので
mVx(dVx/dt)=-Nsinθ・Vx
mdVy(Vy/dt)=(Ncosθ-mg)Vy
MVX(dVX/dt)=Nsinθ・VX
MVY(dVY/dt)=(S-Mg-Ncosθ)VY
また
Vysinθ=(Vx-VY)cosθ
なのでこれらから
d/dt{(1/2)m(Vx^2 +Vy^2) +(1/2)M(VX^2 +VY^2)}

となるらしいですがこの式のつくり方がわからないんです。
そしてそれから先どうするかわかりません。
長々となりましたがよろしくお願いします。

前に質問されたことのあるとおもう問題ですが、検索ワードが思いつかなかったので、質問します。

床、斜面の摩擦は無視できる。
水平な床の上に質量M、傾きθ、の三角台Qの上に
質量mの小物体Pをのせる。
水平方向にx軸、鉛直方向にy軸をとり、重力加速度をgとする。

運動方程式
小物体のx、y軸方向の加速度=a、b
三角台のx、y軸方向の加速度=A、B
PとQの抗力=N、床とQの抗力=S
として
ma=-Nsinθ
mb=Ncosθ-mg
MA=Nsinθ
MB=S-Mg-Ncosθ
B=0
...続きを読む

Aベストアンサー

>Δy=(ΔX-Δx)tanθ・・・☆
>二回tで微分して
>b=(a-A)tanθ

2つの式は矛盾してませんか.
x軸,y軸の正の向きはそれぞれ右向き,上向きでいいのでしょうか.
斜面が右上がり(左端が尖っている)なら
Δy=(Δx-ΔX)tanθ・・・(*)
b=(a-A)tanθ

もしその逆なら右辺が逆符号です.
Δy=(Δx-ΔX)tan(-θ)=-(Δx-ΔX)tanθ
b=-(a-A)tanθ

いずれも,台に対する小物体の相対変位
Δx-ΔX(x方向) と Δy-0=Δy(y方向)
との間に,「台からみて小物体は斜面方向にのみ動ける(今の状況では,浮き上がったりめり込んだりはしない)」 
という条件を幾何学的に書けば出ます.

残りの問題はこれらの式を全て解けば出ますが,解かなくても出ます.
[別解]
>1、PがL滑り降りたときのQの変位を求める問題。
1,は式(*)と
Δx-ΔX=-L・・・(A) (台に対し左にLだけ変位)
(または傾きが逆なら逆符号)
から
y方向の変位はΔy=-Ltanθ つまり,下向きにLtanθ

一方,重心の定義
(m+M)X_G=mx+MX
より
(m+M)ΔX_G=mΔx+MΔX
かつ,水平方向には外力が働かないので,重心は静止したままで,ΔX_G=0
よって mΔx+MΔX=0・・・(B)
(重心からの距離が質量の逆比)
(A),(B)より
x方向の変位:Δx=-ML/(M+m)
つまり斜面が右上がりなら 左向きにML/(M+m)


>2、そのときのPとQの運動エネルギーの和を求める問題。
力学的エネルギー保存が成立するので,
和は mgLtanθ

>d/dt{(1/2)m(Vx^2 +Vy^2) +(1/2)M(VX^2 +VY^2)}
左辺を実際微分すれば
d/dt(1/2)mVx^2=(1/2)md/dtVx^2=(1/2)m・2Vx・dVx/dt=mVx・dVx/dtから言えます.

>Δy=(ΔX-Δx)tanθ・・・☆
>二回tで微分して
>b=(a-A)tanθ

2つの式は矛盾してませんか.
x軸,y軸の正の向きはそれぞれ右向き,上向きでいいのでしょうか.
斜面が右上がり(左端が尖っている)なら
Δy=(Δx-ΔX)tanθ・・・(*)
b=(a-A)tanθ

もしその逆なら右辺が逆符号です.
Δy=(Δx-ΔX)tan(-θ)=-(Δx-ΔX)tanθ
b=-(a-A)tanθ

いずれも,台に対する小物体の相対変位
Δx-ΔX(x方向) と Δy-0=Δy(y方向)
との間に,「台...続きを読む

Q水平方向に可動の台車の斜面に質量mの物体を置いた時の問題です。

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角度θ2(θ1<θ2)の状態で斜面の角度を固定し台車を左へ加速していくと、加速度aで物体は斜面上で停止した。
この時の垂直抗力をNとし、この物体の
1)地面に対して水平方向の運動方程式
2)地面に対して垂直方向の運動方程式
を立てなさい。

又、物体に働く垂直抗力Nをθ1、θ2、m、gを用いて表しなさい。

自分は、
1)ma=mgsinθ2cosθ2-tanθ1cosθ2  (加速度の向きを正)
2)0=mg-Ncosθ2  (下向きを正)
としましたが、自信が全くありません。
というより間違っているはずですが、何が違っているのかがわからないです。

この二つの式からNを導くのかと思ってますが私の式だとN=mg/cosθ2としかなりません。

(1)、(2)の間違えている点を指摘して頂きたいです。

Aベストアンサー

>1)ma=mgtanθ2+Nsinθ2-Nμcosθ2

重力に水平方向の成分はありません。

>2)0=mg-Ncosθ2+Nμsinθ2

右辺第3項の符号が逆です。1)式では摩擦力は斜面に沿って上向きとされています。(加速度 a は時間とともに増していったと考えていることになりますが、問題文からは、たぶんそれでよいだろうと推測されます。)

Q問)5.0mの高さからなめらかな斜面をすべり下りた質量2.0kgの物体が

問)5.0mの高さからなめらかな斜面をすべり下りた質量2.0kgの物体が、あらい水平面AB(AB=10m)上で動摩擦力を受けて減速され、点Bにおける速さが7.0m/sとなった。

(1) AB間を通るときに動摩擦力が物体に対してした仕事W(J)を求めよ。

(2) 物体とあらい水平面ABとの間の動摩擦係数μ´を求めよ。

(3) 物体が点Bで停止するためには、何mの高さから物体をすべらせればよいか。


問)軽いつる巻きばねの上端を傾きθのなめらかな斜面上に固定し、他端に質量m(kg)の物体を付けて斜面上に置いたところ、ばねがa(m)だけ伸びてつりあった。このときの物体の位置を点Aとする。さらに、点Aから斜面にそってa(m)だけ下方の点Bまで物体を引いて静かに手をはなす。重力加速度の大きさをg(m/s^2)とする。

(1) つる巻きばねのばね定数k(N/m)を求めよ。

(2) 物体を点Aから点Bまで引き下げるときね仕事W(J)を求めよ。

(3) 物体がつりあいの位置を通るときの速さv(m/s)を求めよ。

Aベストアンサー

E=mghからエネルギーを算出。
E=1/2MV^2から運動速度を計算

この速度より点Bにおける速さが7.0m/sとなった場合を考査すればいい。
仕事W(J)をニュートン換算。-E=1/2MV^2を釣り合わせればよい。

全て応用なのだから、習っていない(答えを教わっていない。)
は問題があると思います。


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