数学で解けない問題があります。

実数x,yがx^2+4y^2=1, y＞0を満たすとき、z={(x+1)^2+y^2}/(x+1)y　の最小値を求めよ。
また、最小となるときのxとyの値を求めよ。

解ける方お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/20 00:36

z={(x+1)^2+y^2}/(x+1)y　(1)

Z=z(x+1)y={(x+1)^2+y^2}

を考える。

条件　x^2+4y^2=1, y＞0　　(2)

は点P(x,y)が長径１、短径1/2の楕円の上半分上にあることを示している。

よって

x+1>0,y>0 (3)
Zに相加平均と相乗平均の関係を使うと

Z=z(x+1)y≧2(x+1)y

(1)より

z≧2　　　　　　　　　　　(4)

等号は

x+1=y (5)

の時成立。(2)と連立して

5x^2+8x+3=0

(5x+3)(x+1)=0

(3)よりx+1>0なので

5x+3=0

x=-3/5

y=2/5

このような(x,y)は存在する。

よって(4)よりzの最小値は2、最小となるときx=-3/5, y=2/5

No.2 回答者： birth11 回答日時： 2014/05/20 19:18

z=( x^2 + 2 x +1 +y^2 )/ (x+1) y = (x+1)/y + y/ (x+1)

A=(x+1)/y 、B=y/(x +1)として
相加相乗平均の関係からAとBの式を立てる。
→相加相乗平均参照
y^2をx の式で表す……(1)
相等条件はA=Bのとき。そのときz=A +Bが最小値となる。
(1)から、x^2 ＋ 4 y^2 =1、y > 0 を満たす x を求める。
続いてy を求める。

以上。

相加相乗平均の関係はおなじみではなかろうか。
答えは私以外の方がすでに求めていますね。