【エクセル】傾いた楕円の長軸の求め方【数学】

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質問者：tashi0mayu
質問日時：2014/06/24 10:49
回答数：5件

こんにちは。
エクセルで時間t と動いている1点のx座標，y座標の関係をまとめました。
横軸をx座標，縦軸をy座標としてグラフを作ると、
この1点が（ほぼ）楕円形で動いていることがわかりました。
この楕円はx軸方向（水平方向）に対して長軸が傾いています。
この長軸の傾きを求める方法がわかりません。
宜しくお願いします。

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回答 (5件)

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No.5

回答者： stomachman
回答日時：2014/06/25 00:25

点の座標のデータ(x,y)にはほとんど誤差がなくて、点が奇麗に楕円上に並んでいる、という前提でなら、以下の方法が使えます。

(1) x座標をA列, y座標をB列に並べます。たとえばデータが100個あるとするとA1～B100が埋まります。
(2) 各行について、x^2をC列、x*yをD列、y^2をE列に作ります。
(3) さらに、F1～F100に1を入れます。これで、A1～F100までが埋まりました。
(4) 範囲H1～M5を選択した状態で、セルH1に =mmult(transpose(A1:E100),A1:F100) と入力します。ここでenterとか押しちゃ駄目でして、最後の")"を入力した状態のまま、 Macなら commandキーを押しながらenter。（Windowsならcommandの代わりにcontrolキーだっけか。）
すると、数式バーの表示が勝手に {=mmult(transpose(A1:E100),A1:F100)} に変化します。そして、範囲H1～M5に数値が表示される。
(5) 範囲H7～L11を選択した状態で、セルH7に =minverse(H1:L5) と入力し、(4)と同様に commandキーを押しながらenter。
すると、範囲H7～L11に数値が表示されます。
(6) 範囲H13～H17を選択した状態で、セルH13に =mmult(H7:L11,M1:M5) と入力し、同様に commandキーを押しながらenter。
すると、範囲H13～H17に5個の数値が表示される。これらは上から順に、下記の式の係数a, b, c, d, eの近似値を表しています。

　　a x + b y + c x^2 + d xy + e y^2 = 1

つまりこれで楕円の方程式の係数が全部分かったということ。後はできるでしょ？

　なお、(1)～(6)の手順の意味はというと、線形最小二乗法を応用して、データによく合う楕円のパラメータa,b,c,d,eの近似値を算出したのです。近似値の精度を良くするには、全部の点のx座標の平均値 m, y座標の平均値 nを使って、データ(x,y)を全部(x-m, y-n)に置き換えてから処理するのがオススメです。

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No.4

回答者： gohtraw
回答日時：2014/06/24 20:08

ｘおよびｙの刻み（点の間隔）にもよると思いますが、

ｘとｙについてそれぞれ最大値と最小値の平均をとると
それらが（ほぼ）中心に近いのではないかと。
上記の刻みが細かくないと誤差が大きくなるけど。

中心が判ったら、今度は各点から中心までの距離を
求め、一番距離が大きい点と中心を結んだらそれが
長軸。この二点の座標から長軸の傾きが判るかと。
これも刻みが細かくないと誤差が出ますが。

せっかくエクセルなので近似曲線でも引いてみて、
その式を利用するとか。

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No.3

回答者： transcendental
回答日時：2014/06/24 17:24

何らかの方法で楕円の中心の位置を求め、これを原点とする楕円の方程式を次のように得たとします。

a・ｘ＾２＋２ｈ・ｘｙ＋ｂ・ｙ＾２＝１．
（ただし、a＞０、aｂ－ｈ＾２＞０）
この楕円の軸がｘ、ｙ軸となるように、Oのまわりにφだけ回転します。
計算により、
tan（２φ）＝２ｈ/（ｂ－a）
を満たすようにφを選ぶとき、楕円の軸はｘ、ｙ軸となります（｜φ｜＜π/４）。

このとき楕円の方程式は、A・ｘ＾２＋B・ｙ＾２＝１の形となります。ただし、
A＝｛（a－ｂ）/２｝・cos（２φ）－ｈ・sin（２φ）＋（a＋ｂ）/２、
B＝｛（ｂ－a）/２｝・cos（２φ）＋ｈ・sin（２φ）＋（a＋ｂ）/２．
です。
この（φ）が、軸の傾きです。
また、楕円の両軸の長さは、２/√A、２/√Bです。