分数の通分について

友達が、分数の足し算を通分せずに次のように計算をしました。しかし、なぜ分数の足し算は掛け算と違い通分をしなければならないのでしょう。

1/2+1/3=2/5

それぞれ分母と分子を足し算しています。
教えてください。よろしくお願いします。

No.1 回答者： noname#17965 回答日時： 2004/05/22 08:45

紙の上で数字だけを見ているから分からないのです。

リンゴを見て考えましょう。

リンゴ　１/２個　リンゴ半分ってことですね
リンゴ　１/３個　３人で分けた時のひとり分ですね

上の２つを足したら・・・半分よりずっと多いですよね。
１個まるまるよりちょっと少ないくらい。

リンゴ　２/５個　５人で分けた時の二人分だから半分より少ないですね。

つまりリンゴ１/２個と１/３個を足したら２/５個よりもずっと多くなります。質問の計算はおかしいことがわかりますね？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく分かりました。

お礼日時：2004/05/23 00:32

No.2 ベストアンサー 回答者： i536 回答日時： 2004/05/22 09:55

加減乗除の計算がすらすらできるひとでも、

その意味を理解できているひとは案外すくないとおもいます。
ご質問は加減乗除の本質にかかわる非常に重要なものです。

足し算、引き算は【同じ単位同士のみ】での計算です。
一方、掛け算、割り算は異なる単位であっても計算できます。

たとえば、１ｋｇと１０円とは足すことはできません、１kg + 10円=?
同様に同じ重さでも単位が異なるとできません、
たとえば、1kg と 10g とで、1+10=11kg または 11gとはなりません。
一方、同じ単位である、１円と１０円は足せて、１１円になりますし、
１ｋｇと１０ｋｇも足せて、１１ｋｇとなります。

そこで、同じ単位同士のみでの計算である、足し算、引き算を行う前には
かならず、事前に、一旦、単位を揃えてやる必要があります。
たとえば、1kgと１gを足す場合、
1kg+1g=1000g+1g=1001g=1kg + 0.001kg=1.001kg
となって足し算ができます。

同様に、1/2+1/3では、1/2と1/3とでは計る単位が異なっていて、
そのままでは足せません。
そこで、足すことができるように両方に共通の単位に揃える必要があります。
これが【通分】です。

1/2と1/3との場合、1/6が共通の単位として使用できます。
すなはち、1/2は、共通単位1/6が３個、1/3は共通単位1/6が２個です。
1/2と1/3とを合わせると、共通単位1/6が５個となります。
したがって、答えは1/6が５個すなはち、5/6となります。

これを数式で書いたものが、
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 です。

上の計算で、共通単位として1/6でなく、
1/12でも、1/60を選んでも計算できることに変わりありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
よく分かったような、分からなかったような感じです。じっくり考えます。

お礼日時：2004/05/23 00:33

No.3 回答者： everytime 回答日時： 2004/05/22 09:59

私が回答を考えている間に、たくさんの方が回答しているようなので、同じ答えになると思いますが…

★1/2+1/3＝2/5ではない訳
上から見た円形のケーキを想像しみてください。
はじめの１/2は半分（時計の文字盤で言うと、12時から6時までの間（30分））のケーキですね。1/3は３等分（時計の文字盤で言うと、12時から4時（20分）（足し算がわかり易いように6時から10時と考えても同じです））のケーキです。
二つをくっ付けてみましょう。(足し算する。）
時計の文字盤で言うと、12時から10時までの形になりますね。（50分）
もし、1/2+1/3が2/5ならば、時計で言うと12時から5時より小さい（24分）の大きさです。（ケーキを5等分したものが2つという意味ですから（60分×2/5＝24分）これは間違いですよね。

★分数の足し算が通分しなければいけない理由
　なぜ、分数の足し算が通分をしなければいけないかというと、1/2のケーキと、1/3のケーキの分け方が違うからです。（分母が違う）だから、分け方を同じにして考えようというのが通分の考え方です。1/2のケーキを1/3の分け方で考えるとすると、どうしたらいいでしょうか？半分のケーキを3等分してみます。その一かけらは、全体からすると6つに分けたことと同じですよね。その6つに分けたかけらが、3つある。(3等したから）だから1/2は3/6と同じです。（6つに分けたものが3つあるのと同じ（約分しないだけです））
　同様に、1/3のケーキを1/2の分け方で考えてみると、1/3のケーキを二つに分けます。これも全体から見ると、一かけらは1/6です。そのかけらが2つありますから、1/3は2/6になりますね。同じ6等分したかけら同士だと、足すことが出来ます。(反対に言うと、分数では同じ分け方をしたもの同士しか足せないのです。これを何故といわれると、分数はそういうものだとしかいえないんですが…先に説明したケーキや、時計文字盤の事実から、違う答えになることを理解するしか方法がありません）
6等分のかけら3つ分と2つ分を足すと、6等分のケーキが５こあります。だから答えは5/6となります。
1/2+1/3＝3/6＋2/6＝5/6

蛇足で混同するといけないのですが、時計の文字盤の例を出したように12時から6時までは6/12とも言えますし、30分ということから30/60とも言えます。すべて約分すれば1/2ですよね。1/3も同様に4/12とも20/60とも言えます。細かく分けても答えは同じなのですが、最後に約分しなくていいのが、6等分ということなのです。細かく分けても同じわけかただと足してもいいということです。

お解りいただけたでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
少し難しかったですが、早い解答ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/23 00:34

No.4 回答者： noname#15470 回答日時： 2004/05/23 15:01

通分の説明って難しいですよね．

私も塾で講師をしていたとき，小学生だけではなく，中学生や高校生からも同じような質問を受けました．
そのときに，苦肉の策で思いついた説明ですが，参考になさってみてください．

足し算とは，基本的には同じ大きさのものを足し合わせることです．

たとえば，１＋２　という足し算は，
１＋（１＋１）　というように書き換えられますよね．このとき最初の「１」と（１＋１）の「１」は同じ大きさですよね．

分数も同じ考え方をするといいと思います．

１／２　と　１／３　というのは同じ大きさではないのでそのまま足し算することはできませんので，
１／２を（１／６ ＋ １／６ ＋ １／６）＝ ３／６
と表し，
１／３を（１／６ ＋ １／６）＝ ２／６
と表さないと足し算ができないのです．

このような概念で通分を慣らしていけば，
そのうち，何も考えなくても通分するのが当たり前，というようになるとは思いますが，どうでしょう？

わかりづらかったらごめんなさい．．．

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2004/05/25 00:34