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質問1.n次正方行列 A の行列式 det(A) が 0 でない( det(A)≠0 )ための必要十分条件を教えて下さい.

質問2.n次正方行列 B の行列式 det(B) が 0 になる( det(B)=0 )ための必要十分条件を教えて下さい.

「質問1」や「質問2」が,定理か何かの形で分かっていれば,是非,教えて下さい.

ちょっと,調べましたところ,Wikipedia には,記述がありません.「数学辞典・3版」や「数学辞典・4版」にも載っていないようです.その他の数学の辞典類にも見あたりません.

定理でなくても,det(A)≠0 又は det(B)=0 を調べる数学的手法があれば教えて下さい.

よろしくおねがいします.

gooドクター

A 回答 (6件)

体を成分にもつ n 次正方行列 A の話だとします.次は同値です.



(1) det(A) ≠ 0
(2) ある n 次正方行列 B で AB = BA = I (単位行列) を満たすものが存在する
(3) A の列ベクトルは線型独立
(4) rank(A) = n
(5) 連立方程式 Ax = 0 の解は自明なもの x = 0 に限る
(6) null(A) = 0

Wikipediaにも大体載ってますし,数学辞典でも行列の項などを引けば見つかります.線型代数の教科書であれば,どんなものにも載っているでしょう.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/正則行列
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この回答へのお礼

行列の成分が体だとすれば,(1)と(2)が同値ということなので,これが使えそうです.有り難うございます.

ところで,(2)に関して,AB = BA = I を満たす B が存在しない場合は,det(A)=0 と考えて差し支えありませんか?

お礼日時:2014/07/10 15:44

det(A)≠0 は A が正則 と同じ。



A が正則 = Aが逆行列を持つ と定義されますが

<=>Aの列ベクトルが一次独立<=>Aの行ベクトルが一次独立
<=>Aの固有値が全て非ゼロ<=>Aのランクがn

と同じ。この設問の答えとしては 「正則」のひとことで十分でしょう。
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この回答へのお礼

>det(A)≠0 は A が正則 と同じ。

なるほど,非常に簡潔で,良い参考になります.ありがとうございました.

お礼日時:2014/07/11 10:26

<回答No.4 お礼


その通りです.先の回答に書いたことの対偶をとれば質問2に答えになります.
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この回答へのお礼

対偶をとれば・・・で納得できました.有り難うございました.

お礼日時:2014/07/10 16:26

ちょっと質問が大雑把すぎないかなぁ.



何をしている最中に出てきたのかとか, 何がしたくてそういうことを考えているのかとか, できれば詳細を書いてもらえませんか?
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この回答へのお礼

ある事情のため,「何をしている」とか「何がしたくて・・・」とかの詳細は書けません.悪しからず.有り難うございました.

お礼日時:2014/07/10 15:18

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92% …
これのこと?

次正方行列 d
で調べれば出てくると思いますよ。
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この回答へのお礼

有用なご指導,ありがとうございます.参考になります.
書き忘れましたが,行列の要素は実数です.複素数ではありません.

行列 A が対角化可能である場合と,対角化可能でない場合について,考えてみます.

もし,気が付かれた事がありましたら,お手数ですが,また,ご投稿下さい.

お礼日時:2014/07/10 15:04

よく分からんけどdetを計算するしかないんじゃないの

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この回答へのお礼

一般の場合の n×n行列の行列式を考えていますので,実際の計算ができないのです.有り難うございました.

お礼日時:2014/07/10 14:42

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