利用規約の変更について

X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、
それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0)
に従います。
確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x)
とするとき、
(1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。
(2)fn(x)を求めよ。
(3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。
との問題なのですが、

(1)について、
XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は
畳み込み積分で与えられるので、
fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが
上手く証明ができません。

また、(2)について、
指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから
要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、
fn(x)=n/λ
だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか...

どなたか数学に詳しい方が居られましたら、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

「畳み込み積分がいまいち理解できていない」の「いまいち」がどこからを指すのかわかりませんが, とりあえず「畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる」ことがわかっていれば (1) は難しくないはず... というか, ほぼ「畳み込みで書ける, 終わり」のレベル. ヒントは


X1+X2+...+Xk = (X1+X2+...+X(k-1)) + Xk.

で (2) はすっとばして (3) については, 確率変数 X の期待値を E[X], 分散を V[X] で表すことにすると, 2つの確率変数 X, Y に対して
・E[X+Y] = E[X] + E[Y]
・X と Y が独立なら V[X+Y] = V[X] + V[Y]
であることを知っていれば簡単. (1) や (2) とは無関係に解けてしまう.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

返信ありがとうございました!
「独立」をうまく利用して解くことが大事なのですね。
大変勉強になりました!
ありがとうございした。

お礼日時:2014/07/31 22:47

(1) 「上手く証明ができません」とはどういうことでしょうか? 具体的にはどの辺までできてどこで困っているのですか?



(2) fn(x) の x はどこへいったのですか?

ついでに (3) は「独立」でほぼ終わり.

この回答への補足

回答頂き、ありがとうございます!

(1)畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる、
という知識だけはあるのですが、
畳み込み積分がいまいち理解できていない状態なので、
どう証明すれば良いかの方針が立たずにいます...
(2)そうでした、その時点でまちがっていますね(*_*)
(3)「独立」でほぼ終わりとは...どういうことでしょうか
指数分布の特性関数を考えると良いのでしょうか?

お手数ですが、どうぞ宜しくお願いいたします。

補足日時:2014/07/31 10:16
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。

畳み込み積分をする和の密度関数の問題に困ってます。。。
aを正の定数とする。実数値をとる確率変数X、Yが独立に密度関数
f(x)=ae^(-ax)(x≧0),0(x<0),
g(y)=(a+1)e^(-(a+1)y)(y≧0),0(y<0),
に従うとき、その和の密度関数U=X+Yを求めよ
という問題です。。。
畳み込みの公式にいれてみたのですが、最後まで計算ができない(eが発散してしまいました)

お願いします

Aベストアンサー

ポイントは:
      x≧0
 かつ y=u-x≧0 ,
よってxの積分領域は[0,u] です。

これ以上書くと余計かもしれませんが,結果を計算したのでご参考ください。

別解は,逆フーリエ変換を用いるもので,指数分布の場合,zの積分領域を心配する必要がありません。

私はこれから日本で数理統計を学びたい準留学生です。一緒に頑張りましょう。

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Q確率変数の和の平均値と分散と確率分布

確率の問題でどうしても解けない物があります。どなたか解き方を教えて貰えませんでしょうか。お願いします。

問題)
確率変数 Xi(i=1,2,…,N) は互いに独立であるが,
それぞれ平均値i (E(Xi)=i) のポアソン分布に従う.
この確率変数の和 Y= (N Σ i=1) Xi の平均値と分散を,
Nの関数として求めよ.
さらに,Yの確率分布 P(Y=n) を求めよ.

Aベストアンサー

平均と分散は
E(Y)=E(X1+…+XN)=E(X1)+…+E(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
V(Y)=V(X1+…+XN)=V(X1)+…+V(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
と簡単にできると思います。
確率分布は確率母関数を使えば良いと思います。
Yの確率母関数はGY(s)=E(s^Y)によって定義されます。
(sのY乗の平均、sは実変数)
GY(s)=E(s^Y)=E[s^(X1+…+XN)]=E(s^X1…s^XN)
=E(s^X1)…E(s^XN)
積の各項は
E(s^Xi)=ΣP(Xi=n)s^n=Σe^(-i)・i^n/n!・s^n
=e^(-i)Σ(is)^n/n!=e^(-i)・e^(is)
よって
GY(s)=e^(-1-…-N)・e^((1+…+N)s)
=e^(-N(N+1)/2)・e^(N(N+1)/2・s)
これをs=0を中心としてテイラー展開すると
GY(s)=e^(-N(N+1)/2)・[1+N(N+1)/2/1!・s
+{N(N+1)/2}^2/2!・s^2+…
+{N(N+1)/2}^n/n!・s^n+…]
一方、定義から
GY(s)=E(s^Y)=ΣP(Y=n)s^n
なので、GY(s)のテイラー展開のs^nの係数と比較して
P(Y=n)=e^(-N(N+1)/2)・{N(N+1)/2}^n/n!
結局、平均がN(N+1)/2=1+2+…+Nのポアソン分布になりました。
(n=0,1,2,…として和をとって1になるので計算は合って
ると思いますが。ご確認願います。)
確率分布が分からないが、確率母関数が比較的容易に計算
できるときは、これをテイラー展開して係数を比較して逆
に確率分布を求められます。
ある確率変数Xが与えられたときに、逆に単純な確率変数
U1,…,UNを使ってX=U1+…+UNと表し、GX(s)からXの確率分布を
求めることが良くあります。
(例えばXが二項分布に従うとき、Uiはベルヌーイ分布)

平均と分散は
E(Y)=E(X1+…+XN)=E(X1)+…+E(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
V(Y)=V(X1+…+XN)=V(X1)+…+V(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
と簡単にできると思います。
確率分布は確率母関数を使えば良いと思います。
Yの確率母関数はGY(s)=E(s^Y)によって定義されます。
(sのY乗の平均、sは実変数)
GY(s)=E(s^Y)=E[s^(X1+…+XN)]=E(s^X1…s^XN)
=E(s^X1)…E(s^XN)
積の各項は
E(s^Xi)=ΣP(Xi=n)s^n=Σe^(-i)・i^n/n!・s^n
=e^(-i)Σ(is)^n/n!=e^(-i)・e^(is)
よって
GY(s)=e^(-1-…-N)・e^((1+…+N)s)
=e^(-N(N+1)/...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q指数分布の平均と分散について

指数分布の平均と分散について質問です。
確率密度関数f(x)=λe^(-λx)

平均E[x]と分散V[x]が以下のようになるらしいのですが
E[x]=1/λ,V[x]=1/λ^2
その求め方(証明式)を教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

そのまま

E(X)=∫[0,∞]λxe^(-λx)dx
V(X)=∫[0,∞]λ(x-1/λ)^2e^(-λx)dx

を計算してください。部分積分で求められます。
なお、

lim[x→∞]xe^(-λx)=lim[x→∞]x/e^(λx)=lim[x→∞]1/λe^(λx)=0

です。

Q周波数と角周波数

(1) 時間に関して周期的でかつ波形の伝播速度が一定の波形に対して, 周波数はその時間周期の逆数である.
(2) 角周波数という言葉は正弦波(複素形の指数関数も含む)に対する用語である.

この(1)と(2)は正しいでしょうか ? また, いわゆる電波の周波数とは(1)のことでしょうか ?

フーリエ解析によれば, 周期 T の波形 f(t) は, 基本角周波数 2π/Tの整数倍の角周波数の正弦波の重ね合わせで表せますが, この場合にf(t)に対する周波数といえば, 1/T のことでしょうか ?

Aベストアンサー

1周波に要する時間を周期といいTで表す。1秒間における於けるサイクル数を周波数fという。
f=1/Tの関係がある。  (1)は正しい。
角速度ωは ω=2πf、ω=2π/T となる。
>電波の周波数とは(1)のことでしょうか ?
そうです。
(2)は正弦波だけでなく余弦波も含まれますね。
>フーリエ解析・・・角周波数の正弦波の重ね合わせで表せますが
一定の周期をもって同一波形が繰り返される歪波交流は正弦波と余弦波の級数の和で表せる。
>f(t)に対する周波数といえば, 1/T のことでしょうか ?
そうです。
 

Q他大学から東大大学院入試の難易度

自分はw稲田大学の文学科に通っているものです。将来哲学の研究をしていきたいと思っています。
自分としては東京大学大学院総合文化研究科に進学したいと考えています。理由は、色々と大学院を検索した結果、指導をしていただきたい現代哲学専攻の教授がそこの研究科にいらっしゃるからです。

自分は院試までにはもうちょっと期間があるのですが、東大院入試は東大受験よりも比較的簡単というのは本当でしょうか。というのは下記のホームページでは他大学受験の倍率は約5倍だからです(大学受験の倍率は約3倍)。数字だけをみると大学受験よりも門は閉ざされているような気がします。
色々と調べてみて(もちろんok web内も)、院の研究室に通って問題傾向を把握することができたら内部生との差も大きく縮まる(もちろんこれは東大院に限らない)ということはわかりました。また東大院は他大学生に対して門戸を開いている大学院である、ということも。
しかしこれだけが難易度が低い理由ではないと(ただの推測ですが)思っています。

私と同じ立場での東大院入学者、またはこれらの数字が示す本当の意味や実際の事情について知っていらっしゃる方がいましたらぜひ教えてください。

参考;http://www.u-tokyo.ac.jp/stu01/e02_01_j.html

自分はw稲田大学の文学科に通っているものです。将来哲学の研究をしていきたいと思っています。
自分としては東京大学大学院総合文化研究科に進学したいと考えています。理由は、色々と大学院を検索した結果、指導をしていただきたい現代哲学専攻の教授がそこの研究科にいらっしゃるからです。

自分は院試までにはもうちょっと期間があるのですが、東大院入試は東大受験よりも比較的簡単というのは本当でしょうか。というのは下記のホームページでは他大学受験の倍率は約5倍だからです(大学受験の倍率は約3倍...続きを読む

Aベストアンサー

東大の院はここ数年でかなりレベルが下がったと聞きます。私もw稲田大ですが、同期の友人が東大の院試を受けて理工研究科に進学しました。彼の話では、大学レベルではやはりかなり差があるものの、院になったら早大との差はほとんどない、むしろ東大の方がレベル低いように感じる、とのこと。

学部や研究科によって違いはあるのでしょうが、以前と比べて東大の院のレベルが落ちてきていることはどうやら間違いなさそうです。

単純な受験倍率だけで見れば上がっているのかもしれませんが、レベルが落ちてきたことで、受験者が増えてきたというだけかもしれませんよ。

Q確率変数とは

確率変数P{X=x}のXとxの違いがよく分かりません。というか確率変数の概念自体がよく分かりません。またなぜP{X=x}=P(x)なのかもわかりません。助けてください。

Aベストアンサー

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。そこで、現象と数の対応を確率変数とします。この場合、確率変数Aを、
サイコロを振ってaが出たら、A=1
サイコロを振ってbが出たら、A=2
サイコロを振ってcが出たら、A=3
サイコロを振ってdが出たら、A=4
サイコロを振ってeが出たら、A=5
サイコロを振ってfが出たら、A=6
となる変数であると決めてしまいます。これで、現象->数への変換が出来ました。確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。
P{A=t}のtは、正確に書くと、t∈実数です。つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。
P{A=t}=f(t)は、現象の集合を確率変数Aで数に置き換えてやった時の値がtである確率が、f(t)という値と同じだよ。という意味です。

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。...続きを読む

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報