X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、
それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0)
に従います。
確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x)
とするとき、
(1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。
(2)fn(x)を求めよ。
(3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。
との問題なのですが、
(1)について、
XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は
畳み込み積分で与えられるので、
fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが
上手く証明ができません。
また、(2)について、
指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから
要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、
fn(x)=n/λ
だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか...
どなたか数学に詳しい方が居られましたら、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
(1) 「上手く証明ができません」とはどういうことでしょうか? 具体的にはどの辺までできてどこで困っているのですか?
(2) fn(x) の x はどこへいったのですか?
ついでに (3) は「独立」でほぼ終わり.
この回答への補足
回答頂き、ありがとうございます!
(1)畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる、
という知識だけはあるのですが、
畳み込み積分がいまいち理解できていない状態なので、
どう証明すれば良いかの方針が立たずにいます...
(2)そうでした、その時点でまちがっていますね(*_*)
(3)「独立」でほぼ終わりとは...どういうことでしょうか
指数分布の特性関数を考えると良いのでしょうか?
お手数ですが、どうぞ宜しくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「畳み込み積分がいまいち理解できていない」の「いまいち」がどこからを指すのかわかりませんが, とりあえず「畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる」ことがわかっていれば (1) は難しくないはず... というか, ほぼ「畳み込みで書ける, 終わり」のレベル. ヒントは
X1+X2+...+Xk = (X1+X2+...+X(k-1)) + Xk.
で (2) はすっとばして (3) については, 確率変数 X の期待値を E[X], 分散を V[X] で表すことにすると, 2つの確率変数 X, Y に対して
・E[X+Y] = E[X] + E[Y]
・X と Y が独立なら V[X+Y] = V[X] + V[Y]
であることを知っていれば簡単. (1) や (2) とは無関係に解けてしまう.
返信ありがとうございました!
「独立」をうまく利用して解くことが大事なのですね。
大変勉強になりました!
ありがとうございした。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 X_1,…X,nを独立で同じ確率分布に従う確率変数列とする。 Xmin=min{X_1,…,Xn}, 5 2023/01/13 22:00
- 数学 以下の数学の問題を教えてください。 確率変数Xは標準正規分布N(0、1)に確率変数Yは平均3のポアソ 3 2022/12/02 19:13
- 統計学 確率変数XとYは独立で一様分布U(0,1)に従うとき、E(X+3)、E((X+Y)^2)、XとYの同 1 2022/07/28 22:34
- 数学 確率について ①Xが実数値をとる確率変数で、f(x)=0(x<=-1),1/4x+1/4 (-1<= 2 2022/06/20 18:44
- 統計学 確率変数XとYは独立で一様分布U(0,1)に従うとき、E(X+3)、E((X+Y)^2)、XとYの同 2 2022/07/29 00:25
- 統計学 確率変数XとYは独立で一様分布U(0,1)に従うとき、(1)E(X+1)、(2)E((X+Y)^2) 2 2022/07/30 09:39
- 数学 x軸上にN+1個の点P0, P1, … , PNがある。 P0は0から1の間、PiはP(i-1)と1 2 2023/04/07 16:23
- 数学 確率について 事象Aが起こる確率が0.25である独立行列において、試行回数を5回とした時Aの起こった 2 2022/06/06 19:46
- 数学 至急!次の問題を教えてください。 ある市では、消防車の出動要請が平均して1時間当たり1回ある。 多く 2 2022/11/18 20:25
- 数学 統計学の問題です。 2 2023/07/28 01:20
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
0の積分
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
exp(ikx)の積分
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
高校の数学で積分できない関数
-
これって三角関数の積分で合成...
-
積分の問題です
-
xのx乗の不定積分を教えてくだ...
-
exp(f(x))の積分方法
-
e^(ax)の微分と積分
-
1/x は0から1の範囲で積分でき...
-
cosx/xの積分の値について
-
不定積分∫log(1+x)/x dxが分か...
-
気になったのでお願いします。
-
複素関数(複素解析)の問題で ガ...
-
tanxの積分
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報