級数の収束、発散定理の証明について

閲覧ありがとうございます。
私の使っている微積分の参考書に以下のような定理が記載されているのですが、

http://i.imgur.com/jaIUgNW.jpg

u_nは一般項を表しています。
この(ロ)のiv、vの証明が分からずに困っています。使うことはできますし、類題もだいたい解けるのですが、大元の定理の証明が分からないため非常にもやもやする次第です（この参考書自身にも証明方法は乗っていませんでした。）
どなたかこの定理((ロ)のiv、v)の証明の方法、もしくは証明が乗っているサイトを知っていましたら、教えてください。
お待ちしています。どうぞ解答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2014/08/01 01:42

まず写真の注に書いてあるように

Σ1/n^s がs≦1で発散、s>1で収束を使います。その証明は

http://www1.bbiq.jp/nagamine/math/3/pdf/series02 …

(iv)lim nUn=L>0　ということは、任意のε>0に対して、正の整数Nが存在して、
n>Nならば　nUn>L-ε。ε=L/2として、nUn>L/2 となる。

L=∞としても、定義から、上と同様な条件で　nUn>M　となる Mが存在する。
前の式手　M=L/2と置けば、統一的に議論できる。

つまり、Σ[n=1,∞]Un >Σ[n=N+1,∞]Un >MΣ[n=N+1,∞](1/n)・・(1)

ところが　Σ[n=1,∞](1/n)→∞　ということは、そこから有限値Σ[n=1,N](1/n)
を引いても発散する。つまり、Σ[n=N+1,∞](1/n)も発散する。

ゆえに、(1)から結論を得る。

(v)同様に　n^2Un<L+ε=1.5L=M
Σ[n=N+1,∞]Un < MΣ[n=N+1,∞](1/n^2) < MΣ[n=1,∞](1/n^2)

右辺は収束。したがって、左辺も収束。それに、有限値、Σ[n=1,N]Un
を加えても、有限、となり、Σ[n=1,∞]Un　は収束する。

この回答へのお礼

感動しました。ありがとうございました！

お礼日時：2014/08/02 14:35