ばねの変位量について（ばね組み合わせ時）

下記の２つの問題について解き方、考え方等教えてください。お願いします。
ばねの状態は添付画像の右側の図になります。
左側の直列の図は無視してください。


１．点A,Bの中間点での変位量を求めよ。
（F9とF10が引き合っている点）

答えは、2/3x　となっていますが、解き方がわかりません。
私なりに解いてみたのですが、
並列部の変位量は　1/2ｘ　
並列部を一つのばねと考えて、
上のばねと並列部のばねは直列なので変位量は　x
よって　1/2x+x=3/2x　となってしまいます。

ちなみにですが、
点A,Bの中間点ではなく、おもりとばねが接続されている位置だと
変位量って変化するのでしょうか。


２．固有振動数を求めよ。
・１本のばねのばね定数k：400N/m
・質量M：12kg
・ひずみエネルギーの和：1/3kx2

答えは、24Hz　です。

答えの24Hzとは関係なくなりますが、解法の中で、
等価なばね定数kfは下記で求まる。
1/2kfx2=1/3kx2
よってkf=2/3k
となっていますが、まず「等価」という意味がよく理解出来ませんでした。
弾性エネルギーの公式とそれぞれのばねの弾性エネルギーの和を
イコールにしていますが、なぜそうするのかいまいちわかりませんでした。

お手数おかけしますが、どなたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2014/08/22 23:48

書いてないですけど、

・バネは全部同じバネ
・バネが全部自然長になっている位置から物体がx下がって静止している
・A-Bの棒は回転しないように何らかの仕組みが施されている

ということは前提にしていいのでしょうね。

(1)一番上のバネがd伸びているとすると、並列になっているその下のバネはd/2だけ伸びている。
したがって全体の延びはd+d/2=(3/2)dでこれがxに等しいのだから

d = (2/3)x

これが一番上のバネの伸びになるので、棒ABは同じだけ下に下がっている。

(2)一つのバネのバネ定数をkとすると、

kd = W

が成り立つ。全体としてのバネ定数をkfとするとkf x=Wが成り立つはずだから、

kd = kf x = W

により

kf = (d/x)k = (2/3)k

したがって固有振動数は

f = (1/2π)√[kf/M] = (1/2π)√[2k/3M] = (1/2π)√[2*400/3*12] = 0.75Hz

この数字だと合わないですね。

M=1.2kgなら2.4Hz、M=12gなら24Hz。

この回答へのお礼

いろいろ情報が抜けていて申し訳ありませんでした。
ご指摘の通りです。

おかげさまで理解することができました。
大変ありがとうございました！

お礼日時：2014/08/23 10:30