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相互作用の無い同種粒子がN個あり、全粒子のエネルギーの総和がUである系を考える。粒子の取り得るエネルギー準位をE1,E2,E3,..とし、N1,N2,N3,..個の準位が占められているとすると、
ΣNi=N (1)
ΣEi・Ni=U (2)
が成り立つ。(iは添え字)
↑のような文章が教科書に書いてありました。ある準位EiにNi個の粒子が占めているとすれば、その準位にある粒子のエネルギーUiはEiをNi倍してあげれば良いので、その系全体のエネルギーはU=ΣEi・Nとなるのは分かります。ところが別の資料を読んでみると、用いているのは個数Niではなく分布関数niで表現していたのですが、本当にどちらも同じ事を表していると言えるのか疑問です。
例えばあるエネルギー準位Eiに粒子が占めている確率がni=1/2=0.5だとすれば、そのエネルギー準位にある粒子のエネルギーは、Ui=0.5Eiとなってエネルギーが本来の値よりも減るというような変な表現になり、ここで簡易のためにどの準位も粒子の占有確率がn=0.5だとすると、やはり全エネルギーも減る事になります。元々はエネルギー自体が増減する訳ではありませんが、系全体で統計的に見ると粒子が占めていない確率もまた0.5なのだから、考えているエネルギー準位の単なる和ではなくそれよりも減少すると予想される。つまりU=ΣEi・niは、数学で言うエネルギーの期待値の事を言っているのですか?
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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
ΣNi=N (1)
ΣEi・Ni=U (2)
で、
ni = Ni/N
なのですよ。
Ni = ni×Nだから、
(1)式は
NΣni = N
∴ Σni = 1 (1’)
(2)式は
NΣEi・ni = U
∴ ΣEi・ni = U/N (2’)
となる。
(2’)式を見ればわかるんだけれど、
全エネルギーUを粒子の数Nで割っているのだから、
これは粒子1個あたりのエネルギー、
つまり、
平均値・期待値です。
ですから、
☆つまりU=ΣEi・niは、数学で言うエネルギーの期待値の事を言っているのですか?
◇はYESです。
わたしはその資料を見ていないので分からないのですが、
(2’)のU/Nのところは、小文字のuとかεと書いてあるんじゃないかな。
あるいは、
期待値や平均値を表わす<U>というような記号を使ってあると思います。
No.1
- 回答日時:
>エネルギーは、Ui=0.5Eiとなってエネルギーが本来の値よりも減る
niは確率で、それが1/2なので、
Ui=(0.5N)*Ei
と書くのが正しいです。(Nは全粒子の個数) 減ったりしていません。
あと、
>ΣEi・Ni=U
は、Σ(Ei・Ni) ですよね。画面上では、こういうことにも気を付けないと、意味が正しく伝わりませんよ。
この回答への補足
>Ui=(0.5N)*Ei
と書くのが正しいです。(Nは全粒子の個数) 減ったりしていません。
一応、私が見た事があるのだとUi=ni・Eiと書いてあり、粒子数Nについての記述は無かったです。それともこれはフェルミ粒子についての話でしょうか。
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