A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
問題文に間違いはないですか?
>F(x,y)=xy が G(x,y)=x^2+xy+y^2-1 を満たしているとき、F(x,y)の極値を求めよ。
このままではG(x,y)が意味を持たず問題として不完全で、極値が存在せず、ラグランジュの未定乗数法も適用できません。
正しくは
実数x,y が G(x,y)=x^2+xy+y^2-1=0 を満たしているとき、F(x,y)=xy の極値を求めよ。
でしょう。
上記のように訂正したとして回答(解答)します。
>・極値をもつ可能性のある点 ← 停留点と言います。
>は、(±1/√3, ±1/√3) または(±1,∓1) でよろしいのでしょうか?
ただし(複号同順)なら合ってます。
>・これらをF(x,y)に代入した値を極小値、極大値としてもよろしいのでしょうか?
極値候補であって、極値であるとは断言できません。
しかし、極大値が存在するなら、4個の停留点でのF(x,y)の中に極大値が存在します。
また、極小値が存在するなら、4個の停留点でのF(x,y)の中に極小値が存在します。
G(x,y)=0は原点の周りに45度回転すれば楕円になることからx,yが有界であることを示すか、
G(x,y)=0にx,yの2次方程式の実数条件を適用してx,yの取り得る範囲を求めて、
F(x,y)=xyが最大値(極大値)と最小値(極小値)を持つ」
ことを示す必要があります。
停留点(x,y)=(1,-1)および,(-1,1)でF(x,y)=-1
停留点(x,y)=(1/√3,1/√3)および(-1/√3,-1/√3)でF(x,y)=1/3
停留点は4個のみで、F(x,y)の値は-1と1/3のみですから
1/3がF(x,y)の最大値(極大値)であり、-1がF(x,y)の最小値(極小値)であることが
言えます。
No.2
- 回答日時:
方針としては回答No.1のようにやります.
より厳密には次のようにやります.
【存在の確認】まず曲線 G(x, y) = 0 は楕円なので有界な閉集合です.よって連続関数 F(x, y) は最大値と最小値を取ります.
【候補の列挙】極値の候補はラグランジュの未定乗数法から得られます.
【解の選定】実際の値を代入してみると点 (±1/√3, ±1/√3) で共通の値 1/3 を,点 (±1, ∓1) で共通の値 -1 を取るので,これらは最大値と最小値で,特に極大値と極小値です.極値の候補は上で挙げた4つだけだったので,極大値と極小値はこれらですべてです.
No.1
- 回答日時:
G=0という制限下においてFの極値を求めるのに
ラグランジュの未定乗数法λを用いて
L=F-λG
をx,y,λで偏微分して0とおいた連立方程式は極値の候補を与えます。
つまり、極大値、極小値を与えるx,yはこの連立方程式の解の中に含まれるということで、
そうでない解も含まれるということです。
したがって、極値を与える解であるかどうかは解を検討する必要があります。
この問題では連立方程式は
(1-λ)y=2λx
(1-λ)x=2λy
x^2+xy+y^2-1=0
であり、
λ=1/3または-1
1)λ=1/3のとき
(x,y)=(±1/√3,±1/√3) ,F=1/3
2)λ=1のとき
(x,y)=(±1,∓1) ,F=-1
となり、
1)の場合、極大値
2)の場合、極小値
となっているとみなすことができます。
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