2点集中荷重片持ち梁について

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質問者：801japan
質問日時：2014/09/09 16:41
回答数：2件

2点集中荷重片持ち梁の曲げモーメントとたわみ量の計算について教えてください。
検討部材としましては、Ｈ鋼材です。
ご指導を宜しくお願いいたします。

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No.1ベストアンサー

回答者： uen_sap
回答日時：2014/09/09 16:54

これは数式で回答する問題なのでしょうか？

相当煩雑になります。

元々は多分数値計算する問題であったのではないでしょうか。

いずれにせよ、P1荷重のみでのモメントとたわみ、P2荷重のみでのモメントとたわみを合算すればよい。

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No.2

回答者： stomachman
回答日時：2014/09/09 22:57

　梁に沿って、先端からの距離をxとします。

図から、荷重の分布は
　　w(x) = (P1)δ(x-a) + (P2)δ(x-(a+b))
（ただしδはディラックのデルタ関数。つまり範囲(a,b)についての定積分 (a＜b）が
　　∫(x=a～b) δ(x) dx = (a < 0 < bなら1、b<0かa>0なら0)
であるようなモノです。）
　wを積分すれば剪断力の分布
　　f(x) = ∫{t=0～x) w(t)dt
であり、実際にやってみると
　　f(x) = (x＜aのとき0、a＜x＜bのときP1, b＜x＜cのとき、P1+P2)
です。f(x)のグラフ（xを横軸、f(x)を縦軸にしたグラフ）は2段の階段状になりますね。
　fをさらに積分したのが曲げモーメントの分布
　　m(x) = ∫{t=0～x) f(t)dt
であり、m(x)のグラフは途中で傾きが2度変わる折れ線。
　mをさらに積分して係数(1/(EI))（EIは曲げ剛性）を掛けると、たわみ角の分布
　　i(x) = (1/(EI))∫{t=0～x) m(t)dt
が得られ、そのグラフは3つの二次曲線が滑らかに繋がった形。
　さらにその積分がたわみ量の分布
　　y(x)= ∫{t=0～x) i(t)dt
であり、そのグラフは3つの三次曲線が滑らかに繋がった形(三次スプライン曲線)。

　曲げ剛性EIは材料と断面形状とどっち向きに荷重を掛けるかで決まる。「H鋼材」というだけじゃ情報不足でどうにもなりません。

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1))曲げを受ける梁の微分方程式
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　　w1(x)＝A1・x^3＋B1・x^2＋C1・x＋D1
　　w2(x)＝A2・x^3＋B2・x^2＋C2・x＋D2

が得られます。w1はAC間の梁の鉛直方向の変位曲線，w2はCB間の変位曲線を表し、A1，B1，C1，D1とA2，B2，C2，D2は、それぞれに対する積分定数で未知です（つまりこれら8個が未知数です）。

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　　左端固定条件
　　　w1(0)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：Aで変位0
　　　dw1/dx(0)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　：Aでたわみ角0

　　C点での接続条件
　　　w1(L/3)＝w2(0)　　　　　　　　　　　　　　　　　：Cで変位連続
　　　dw1/dx(L/3)＝dw1/dx(0)　　　　　　　　　　　：Cでたわみ角連続
　　　d^2w1/dx(L/3)＝d^2w2/dx(0)　　　　　　　　：Cで曲げモーメント連続
　　　－d^3w1/dx(L/3)－W＝－d^3w2/dx(0)　　：Cでのせん断力の釣り合い

　　右端固定条件
　　　w2(2L/3)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：Bで変位0
　　　dw2/dx(2L/3)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　：Bでたわみ角0

と8個になり、頑張って解けば、A1，B1，C1，D1とA2，B2，C2，D2は全部求まります。求まれば、BMDはEI・d^2w/dx^2で，SFDは－EI・d^3w/dx^3で、・・・です(^^；)。

　次に2)は後にして3)仮想働の原理ですが、この辺で力突きました。

　明日また回答するかも知れませんが、1)～4)のいずれを使おうと、計算は大変です。最初のURLをお奨めします(^^;)。

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Qたわみ計算（2点集中荷重/両端支持梁）

　　　（a）　　　　　 (ｂ)
　　　↓　　　　　　　↓
------------------------（丸棒(S35C)φ20mm)　　
△　　　　　　　　　　　　　　　△
Ｒa 　　　　　　　　　　　　　 Rb

（a)・・・10kg
(b)・・・20ｋｇ

S35Cの縦弾性係数E=2.1x10＾4（kgf/mm^2)
密度7800ｋｇ/ｍ＾3

Ｒa～Rbの長さ1000mm
Ｒａ～(a)点まで300mm
(a)～（ｂ）点まで450mm

（a)点および（b)点のたわみはどう求めるのですか？
材料力学の初心者です。

助けて下さい。

Aベストアンサー

まず、与条件を整理します。
図のはりのA点とB点のたわみを求める【問題】ですね。ここで、計算の単位は全てｋｇとｍｍで進めます。
（本当は力の単位はＮ＜ニュートン＞に直したいのですが、このまま進めます）

・丸棒の断面二次モーメントを計算します。
　I＝π×２０＾４／６４＝７８５０ｍｍ＾４
・丸棒の自重を等分布荷重ωとして計算します。
　ω＝π×１０＾２×１×７８００／１０００＾３＝０.００２４５　ｋｇ／ｍｍ
・丸棒のヤング係数
　E＝２１０００　ｋｇ／ｍｍ＾２　

（１）丸棒の自重によるたわみの計算
【公式１】より求めます。
＜A点＞ζ＝χ／l＝３００／１０００＝０.３より、
　　　　　　ｙ＝０.２　ｍｍ
＜B点＞ζ＝χ／l＝７５０／１０００＝０.７５より、
　　　　　　ｙ＝０.１　ｍｍ

（２）Ｐ=１０ｋｇだけがＡ点に作用したときのたわみの計算
【公式２】より求めます。
＜A点＞ａ＝３００、ｂ＝７００、l＝１０００、χ＝３００より、
　　　　　ｙ＝０.９　ｍｍ
＜Ｂ点＞ａ＝３００、ｂ＝７００、l＝１０００、χ＝７５０より、χ≧ａ　のときの式を使って、
　　　　　ｙ＝０.６　ｍｍ

（３）Ｐ=２０ｋｇだけがＢ点に作用したときのたわみの計算
同じく【公式２】より求めます。
＜A点＞ａ＝７５０、ｂ＝２５０、l＝１０００、χ＝３００より、
　　　　　ｙ＝１.３　ｍｍ
＜Ｂ点＞ａ＝７５０、ｂ＝２５０、l＝１０００、χ＝７５０より、
　　　　　ｙ＝１.４　ｍｍ

【結果】（１）～（３）のたわみを合計します。
＜A点＞　ｙ＝０.２＋０.９＋１.３＝２.４　ｍｍ
＜Ｂ点＞ｙ＝０.１＋０.６＋１.４＝２.１　ｍｍ

Ａ点のたわみは２.４ｍｍ、Ｂ点のたわみは２.１ｍｍと計算できました。

【公式１】と【公式２】については、「構造力学」（吉田俊弥・著　朝倉書店）より、引用しました。
また、計算の進め方については、「計算の基本から学ぶ　建築構造力学」（上田耕作・著　オーム社）を参考にしました。

参考URL：http://ssl.ohmsha.co.jp/cgi-bin/menu.cgi?ISBN=978-4-274-20856-0

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Aベストアンサー

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ここで、Ｑ図とＭ図は連動しており、ある点のＭの値は、その点までのＱ図の面積を計算することで求められます。
このあたりは、「計算の基本から学ぶ　建築構造力学」および「ズバッと解ける！建築構造力学問題集２２０」（いずれもち上田耕作・著　オーム社）に分かり易く解説されて...続きを読む

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