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多項式f(x,y,z)が同次式でf(x,y,z)=g(x,y,z)h(x,y,z)というふうに多項式の積に分解できたらgもhも明らかに同次式になるとあったのでその証明を考えています。
fがn次式のときはn=l+m(l、mは非負整数)としてgをl次式、hをm次式とします。gの最小次数の項がj次、hの最小次数の項がk次とすると、g=j次の項+(j+1)次以上の次数の項、h=k次の項+(k+1)次以上の次数の項となって、ghを展開すると最小次数はj+k次で、gのj次の項とhのk次の項の積以外にないのでgのj次の項=0、hのk次の項=0です。以下同じ手順をくりかえしていくとgとhの最小次数の項がそれぞれ次々に0になっていってgにはl次の項だけ、hにはm次の項だけしか残りません。
これで証明できてると思うんですが、何となくダサいのでもっとすっきりした方法があれば教えてください。
ちなみにfがn次の同次式というのはfが複素係数の3変数の多項式でf(λx,λy,λz)=(λのn乗)f(x,y,z)が任意の複素数λについていえていることとします。
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