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お世話になります。

「Q&A数学基礎論入門」(久馬栄道著・共立出版)を読んでいます。
次の問題がわかりません。

P.55
∈に関する帰納法
  ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))→∀xA(x)

問題24
 自然数に関する帰納法では 0 で成り立つことがはじめに必要であるが、
∈に関する帰納法ではこのようなものがない。なぜか考えよ。
(次にこう書いてあります)
命題論理でA→BのAがFならば、この式がいつでもTであることを
思い出せ(そして x∈φの真理値がFであることも)。

ずーと考えました。でもわかりません。
どなたか答を教えて下さいませんか。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (8件)

そういう事です。

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この回答へのお礼

tmpname様

丁寧にお教えいただき感謝しております。
私は、論理学など素人ですが
この本、とっつき易さそうで、おもしろそうです。
何とか読み進めていことう思っております。
どうもありがとうございました。
非常に助かりました。

お礼日時:2014/09/19 08:08

えっと、この質問のニュアンスは、


*自然数に関する帰納法では「A(0)が成り立ち、A(n)が成り立つならA(n+1)が成り立つなら全ての自然数nに対してA(n)が成り立つ」みたいに書いているけど、

*∈に関する帰納法では
「∀x(∀y∈xA(y)→A(x))→∀xA(x)」と書くだけで、これが
「(A(0) ^ ( ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))) )→∀xA(x)」と同じ意味になることを確かめよ、という事です。つまり∀x(∀y∈xA(y)→A(x))と書くだけで「A(0)が成り立つことは仮定していることになる」ということを確認せよ、ということですが、いいですか?

> ∀y(y∈0→A(y))→A(0)
> の真偽値がTであることが分かれば
A(0)が真でなければ真になりません。そうでなくて、「∀y(y∈0→A(y))→A(0)」(の真偽)と「A(0)」(の真偽)が等しいことを確認せよ、という事。
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この回答へのお礼

tmpname様、何度も回答ありがとうございます。

∀y(y∈0→A(y)) の真偽値はTだから
∀y(y∈0→A(y))→A(0) の真偽値と
A(0) の真偽値が等しい。
ゆえに
∀y(y∈0→A(y))→A(0) と A(0) は同値である。
従って
[A(0) ∧ ( ∀x(∀y∈xA(y)→A(x))) ]→∀xA(x)
の A(0) は
∀x(∀y∈xA(y)→A(x) の中に含意されている。
と考えればいいのですね。

お礼日時:2014/09/18 09:04

要は、y∈0→A(y)というのは任意のyについて成り立つのだから、∀y(y∈0→A(y))というのはA(y)が何であろうが「常に正

しい」訳で、そうすると『∀y(y∈0→A(y))→A(0)』という式の「∀y(y∈0→A(y))→」というのは(常に正しいのだから)「条件がないのに等しい」ことは分かりますか?
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この回答へのお礼

あっ、分かった。
tmpname様、質問にお付き合い下さって、どうもありがとうございます。

私は問題の意味を取り違えて受け取っていました。
「A(0) が成り立つことを証明せよ」 と思っていました。
∀y(y∈0→A(y))→A(0)
の真偽値がTであることが分かればそれでいい訳ですね。
問題の意味は
[∀x(∀y∈xA(y)→A(x))]→∀xA(x)
の仮定[…]部分が x=0 の時に真であるということを説明せよ、
ということですね。

お礼日時:2014/09/17 16:42

> x にφを代入して


> ∀y∈φA(y)→A(φ)

なぜそこでまた「省略記法」に戻すのか...
そうでなくて、きちんと

∀y(y∈0→A(y))→A(0)

と書いてみる。で、「y∈0を満たすy」って何でした(ありました)っけ?(空集合の定義は?)
それを考えると、「y∈0→A(y) を満たすy」というのが何か分かるのでは?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

y∈0を満たすy は存在しません。
ですから
y∈0 : F
y∈0→A(y) : T
たぶん
∀y(y∈0→A(y)) : T
この先は・・・
分かりません。
んー、私の頭は悪い。本当にこの本、読めるのだろうか?
まだ、おもしろそうだな、と思っておりますが。

お礼日時:2014/09/17 09:00

ほとんど答えが書いてある (笑).



「自然数に関する帰納法」で「0 で成り立つこと」に対応するものは, 「∈に関する帰納法」ではなんでしょうか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

すっかり笑われてしまいました。
∀y∈φA(y)→A(φ)
この式の真偽値が分からないのです。
たぶんTなのだと思いますが、なぜTなのか分かりません。
論理学なんて全くの素人です。
どうか笑わないでバカな私のために答を教えて頂けないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2014/09/16 08:32

集合論の正則性公理を調べてみてください。

きっと答えが見つかります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

正則性公理は、この本では後に出てくるので
ここではまだ使ってはいけないのだと思います。

答はまだ分かりません。

お礼日時:2014/09/16 08:27

というか、ひょっとしたら


∀y∈xA(y)→A(x)
という「省略記法」をつかっているので混乱しているのかもしれない。
この辺り
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8733851.html
を「参考にして」(この通りではないけど)、一度∀y∈xA(y)→A(x)というのを「きちんと書き直す」とすっきりするのかも。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

∀y∈xA(y)→A(x) をきちんと書き直すと
∀y(y∈x→A(y))→A(x) だと思います。
x にφを代入して
∀y∈φA(y)→A(φ)
この真偽値を考えるのですが分からないのです。
私、頭がバカですが、みなさんに教えて頂きながら
読んでみたいと思っております。

お礼日時:2014/09/16 08:25

具体的にx=0の時


∀y∈xA(y)→A(x)
というのを書き下して(単にx=0を代入するだけ)、その時∀y∈xA(y)というのがどうなるかを考えてみてください。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

y∈φ :F
∀y∈φA(y) :T
∀y∈φA(y)→A(φ) の真偽値がわかりません。

もうここで間違っていますか?

お礼日時:2014/09/16 08:18

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