今日は
問題1-3. pを素数とし、
Zp={0,1,2,...,p-1}
とします。
a∈Zp、b∈Zpのとき、a○bはa+bをpで割った余りとする。
また、a●bは、a*bをpで割った余りとする。
すると、集合Zpは、○、●のもとで可換体となることを示せ。
回答:
体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する。
a≠0のとき、a●b=1となるbの存在を示す。
aは1,2,...,p-1のどれかであるから、pと互いに素である。
よってax+py=1となる整数x,yが存在する。このときx=pq+r (0≦r<p)のような
q,rをとると、
apq+ar+py=1 ∴ar=p(-aq-y)+1
よって、arをpで割った余りは1であり、r∈Zpであるから
a●r=1. このrをbにとればよい。
上記の回答に関する質問
Q1) 『よってax+py=1となる整数が存在する』とありますが、
その理由を説明して頂けないでしょうか?
Q2) 『体の条件のうちの大部分は簡単に示せるので省略する』
とありますが、省略しないでお教え頂けないでしょうか?
注)この問題は、ガロア理論入門の10ページに記載されている問題1-3の
ものです。
以上宜しくお願いします。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
Q1)
ax+by=1が整数解を持つ⇔aとbは互いに素
ということが言えるからです。
# 例えば http://mathtrain.jp/axbyc
# あとは「ユークリッドの互除法」とかで調べると良い
Q2)
自分でやりなさい。
体の定義に従って条件を満たすことを順に示していくだけです。
自分の手を動かして書き下してみればわかります。
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