arctan(1/2) + arctan(1/3)

「arctan(1/2) + arctan(1/3) = π/4　になることを示せ」

tan(x+y)を利用する解法の他に、添付画像のような方法が紹介されていました。

これは、何をしているのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2014/09/22 11:16

　1辺が1の正方形が6個描いてあります。

図の右下のカドをA, 左上のカドをBとしますと、
⊿PAQの∠APQ = α について
　tan α = 1/2 だから α=arctan(1/2)
⊿PBRの∠BPR = θ について、
　tanθ = 1/3 だから θ=arctan(1/3)
⊿PQRについて、
　図から、辺PQを90度回転させれば辺QRと平行になるとわかります。つまり、∠PQRは直角であり、⊿PQRは直角三角形。辺の長さを見ると |PQ|=|QR| だから、⊿PQRは直角二等辺三角形。（|PQ|=|QR|=√5, |PR|=√10 ですから、ピタゴラスの定理が成立つということからも直角三角形であることが確かめられます。）
　直角二等辺三角形なんだから、∠RPQは45度（=π/4）です。そして、Pのところを見ると、
　　∠RPQ + (α+θ) = π/2
である。なので、
　 　α+θ = π/4
です。面白いですね。

この回答へのお礼

ご丁寧に、どうもありがとうございました。

バッチリ、理解できました(^^)　

お礼日時：2014/09/22 11:30

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/09/22 11:16

arctan(1/2) + arctan(1/3) = π/4

if and only if
π/2 - (arctan(1/2) + arctan(1/3)) = π/4.

この回答へのお礼

なるほど。真ん中の　π/４　が、足し算の結果なのかな？？？　
と思っていたが、９０－４５＝４５だから、足し算の答えも４５になるはず、ということのようですね！

ありがとうございました！

お礼日時：2014/09/22 11:30

No.1 回答者： f272 回答日時： 2014/09/22 11:05

Pのまわりの角が，それぞれ

PQよりも下にある角はarctan(1/2)
PQとPRがなす角はarctan(1/2) + arctan(1/3)
PRよりも上にある角はarctan(1/3)
になっていると言うことでしょう。

この回答へのお礼

なんとなく、そういう感じかな・・とは思っていたのですが、自信が持てずに困っていました。

ありがとうございました！　

お礼日時：2014/09/22 11:29