高校の積分計算がわかりません

問題は画像の通りです。
tan′xの含まれてる行から次の行へは、どう計算しているのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/09/25 22:34

要するに部分積分です。

I=∫(x:0,π/4)[tan^nx/cos^2x]dx

ここで

1/cos^2x=(tanx)'を用いて

I=∫(x:0,π/4)[(tanx)'tan^nx]dx

部分積分

∫f'gdx=[fg]-∫fg'dx

において

f=tanx, g=tan^nx

を代入して

I=∫(x:0,π/4)[(tanx)'tan^nx]dx

=[tanx*tan^nx](x:0,π/4)-∫(x:0,π/4)[(tanx)(tan^nx)']dx

=1-∫(x:0,π/4)[(tanx)(tan^nx)']dx


(tan^nx)'=ntan^(n-1)x(tanx)'=ntan^(n-1)/cos^2xなので

I=1-∫(x:0,π/4)[(tanx)(ntan^(n-1)/cos^2x)]dx

=1-n∫(x:0,π/4)[(tan^nx)/cos^2x]dx

この積分の部分はよく見ると最初のIと同じ

つまり

I=1-nI

これより

I=1/(n+1)

trickyですね。

No.3 回答者： info222_ 回答日時： 2014/09/26 15:41

単に合成関数の積分公式

∫f(x)dx=F(x)+Cのとき
　∫g'(x) f(g(x)) dx=F(ｇ（ｘ）)+C

に当てはめただけです。

　g(x)=tan(x), g'(x)=(tan(x))', f(x)=x^n とすれば
　∫g'(x) f(g(x)) dx=∫(tan(x))' tan^n (x) dx

　F(x)=∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1) + C
　F(g(x))=(tan^(n+1) x) /(n+1) +C

となります。後は積分の上限と下限をつけて定積分にすれば良いでしょう。

No.2 回答者： f272 回答日時： 2014/09/25 22:55

http://examoonist.web.fc2.com/integration.html
これの途中にある
置換積分の一種「微分形接触型」：最重要の置換の目安
と言うところ。あるいは
微分形接触型の一種「微分形接触累乗型」：置換せずに瞬殺せよ！
のところ。
瞬殺だそうですよ。