徳島大学の数学の入試問題です。

原点を中心とする半径１の円上の４点Ｅ(1,0) A(cosθ,sinθ) B(cos2θ,sin2θ) C(cos3θ,sin3θ) を考える。ただし、0＜θ≦π/3 とする。
(1)線分AEの長さをcosθを用いて表わせ。
(2)△ABCの面積Ｓ1 をsinθとcosθを用いて表わせ。
(3)△OACの面積Ｓ2が△ABCの面積Ｓ1と等しくなるときのθを求めよ。
(4)θ=π/3 のとき、△ABCの内接円の半径rを求めよ。

(1)はAE=√2(1-cosθ) と出ましたが その先が分かりません。 解説をお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/10/19 13:38

図を描いてみれば結構簡単です。

ところが今の私にはその手段がない。ということで文書で書くので自分で図を書いてみてください。

E,A,B,Cは原点中心の単位円上の点ですが、それぞれの位置に次のような関係があります。
∠EOA=∠AOB=∠BOC=θ

次に△ABCについて考えて見ます。
これがBA=BC(=(1)の答え)の二等辺三角形であることはすぐにわかるでしょう。
さらに、ACとBOが直交するということもわかるでしょうか。ここに気づけば簡単です。

(2)を計算するには、どこが三角形の底辺であり高さであるかに注目すればよい。
CとBOの交点をHとすると
S1=AC*BH/2=(AH*2)*BH/2=AH*BH
となります。
つまり、AHとBHを求めればよいわけです。これは簡単にわかります。(BH=BO-OHで計算できます。)

(3)も結構簡単。
S2の面積を考えるとき、底辺をAC,高さをOHとするとS2の面積が計算できます。
というよりも△ABCと△OACは底辺ACを共有するのですから高さが同じ長さであれば面積は等しくなるのです。

(4)これも製図ができると結構簡単。
△ABCの内接円の中心をDとおくとD点は∠BACの2等分線と∠ABCの2等分線の交点となります。
∠ABCの2等分線とはBHのことですのでBHと∠BAHの2等分線との交点と言い換えることができます。
△ABHに注目すると2等分線の性質から
BD:DH=AB:AH
となります。
このことから
r=DH=BD*AH/AB
となります。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。
おかげで図もかけて 解くことができました。

お礼日時：2014/10/19 15:44

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/10/19 12:45

(2)(3) 三角形の面積=(1/2)ab・sinα (a, b 辺の長さ、α:２辺のなす角度)

で求まる。
sinαは外積で求めるのが簡単だが、大学入試では、外積を使用すると
減点する大学があるので、内積で cosαを求めてから変換する。
(sinα)^2 + (cosα)^2=1 を利用すればよい。
(4) 内接円の半径 x (３辺の長さの和) x (1/2) = 三角形の面積
　　を利用する。

この回答へのお礼

最後の(4)の公式すっかり忘れてしまっていました…ありがとうございました。

お礼日時：2014/10/19 15:44