(問題)
y`-y=0(1)の解がy=Σ(k=0~∞)a(k)x^k=a(0)+a(1)x+a(2)x^2+,,,(a(k)はある定数)(2)
の形であらわされるとして、この微分方程式を解け。
(参考書の解答)
(2)の両辺をxで微分して、
y´=Σ(k=0~∞)(a(k)x^k)´=Σ(k=0~∞)(k+1)a(k+1)x^k(3)
(3)と(2)を(1)に代入して、
Σ(k=0~∞){(k+1)a(k+1)-a(k)}x^k=0(4)
全てのxに対して(4)が成り立つ時、a(0)≠0とおいて(★1)、
a(k)=1/k!a(0)(5)
(5)を(2)に代入して、
a(0)Σ(k=0~∞)(1/k!)x^k=a(0)(1+x/1!+x^2/2!+、、、)
=a(0)e^x(ー∞<x<∞)(ただし、a(0)は任意定数★2)
(疑問)
□★1でa(0)≠0とおいているのはなぜでしょうか?
□★1でa(0)≠0としているにもかかわらずa(0)は任意定数となっているのはなぜなのでしょうか?
□全てのxに対して(4)が成り立つ時としているのですが、なぜ勝手に全てのxについて成り立つとしてよいのでしょうか?(すべてのxについて級数(2)の形で表せるとは限らないと思います、収束条件=すべてのxについて級数が収束するとは限らない)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
疑問1, 2:
(4)式が全てのxについて成り立つならば
(k+1)a(k+1)-a(k) = 0
です。これを漸化式としてみればわかりやすいのですが、a(0)=0の場合にはa(k)=0ですよね。これは y = 0という自明な解を意味します。つまり、a(0)を0以外の任意の数とするのは、y=0という自明な解以外を考えるということです。
疑問3:
(2)の形で表されるとしてという仮定が与えられているので、(この問題では)全てのxについて考えてよいでしょう。
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