添付した問題の理解で苦しんでいます。
不等号に=が含まれているので重複する順列だと考え、0~9の10個から重複を許して5つ選ぶので、一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通りでこれを小さい順に並べる方法は1通り。
ただし0,0,0,0,0のみ条件を満たさないから求める通り数は(10^5)-1=99999
とやってしまったのですが、
解答には
0,1,2,3…,9の10個から重複を許して5個を選んで小さい順にx0,x1,…x4とすればよい。
ただし、このうち0,0,0,0,0のみx4=0となり不適である。
9個の | と5個の○の並べ方より、14C5
したがって、(14C5)-1=2001
となっています。
解答に書いてある考え方自体はわかるのですが、自分の考え方のどこがまずかったかがはっきりわかりません。(答えの桁数からして明らかに間違いなのはわかりますが…)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>0~9の10個から重複を許して5つ選ぶので、一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通りでこれを小さい順に並べる方法は1通り。
>ただし0,0,0,0,0のみ条件を満たさないから
って考えて
(10^5)-1=99999
って式を立てたと思うけど、これ「並び替えて同じになる物」を重複として除外してないよね?
選んだまま、並び替えしてない状態で
0,0,0,0,1
0,0,0,1,0
0,0,1,0,0
0,1,0,0,0
1,0,0,0,0
の5つは「小さい順に並べる」と、全部
0,0,0,0,1
になるから
0,0,0,1,0
0,0,1,0,0
0,1,0,0,0
1,0,0,0,0
は重複として除外して「並び替え前は5つだったけど、並び替えた後は1つ」として「1個」と数えないといけない。
質問者さんは、これを「5つ」と数えてしまう計算式を立ててしまっている。
つまり「条件 x0<=x1<=x2<=x3<=x4 を考慮に入れてない」って結果になってます。
回答ありがとうございます。
やはりダブリをそのまま数えてしまっていました。
どおりで大きすぎる数になるはずですね。
ダブリが出ないように数え上げるのはかえってたいへんなので、重複順列として数えているわけですね。
とてもわかりやすい解説でした。ありがとうございます。
No.4
- 回答日時:
>参考までに10^5に含まれる重複を数えると
(ア)5種類の数字(ABCDE)の並べ方5!通りは小さい順に並べれば1通りだから
(5!-1)*(10C5)=29988通りが重複しており、
(イ)4種類の数字5個(ABCDD)の並べ方5!/2!通りは小さい順に並べれば1通りだから
(5!/2-1)*(10C4)*4=49560通りが重複しており、
(ウ-1)3種類の数字5個(ABCCC)の並べ方5!/3!通りは小さい順に並べれば1通りだから
(5!/3!-1)*(10C3)*3=6840通りが重複しており、
(ウ-2)3種類の数字5個(ABBCC)の並べ方5!/(2!2!)通りは小さい順に並べれば1通りだから
(5!/4-1)*(10C3)*3=10440通りが重複しており、
(エ-1)2種類の数字5個(ABBBB)の並べ方5!/(4!)通りは小さい順に並べれば1通りだから
{5!/(4!)-1}*(10C2)*2=360通りが重複しており、
(エ-2)2種類の数字5個(AABBB)の並べ方5!/(2!3!)通りは小さい順に並べれば1通りだから
{5!/(2!3!)-1}*(10C2)*2=810通りが重複しており、
(オ)1種利の数字5個の場合は重複は無いが00000の1通りは対象外だから
これら(ア)~(オ)を10^5から除くと
10^5-29988-49560-6840-10440-360-810-1=2001となる。
お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
別解として素直に求めるとこうなるのですね。
やはり一つ一つ場合分けすると大変ですね…。
とても参考になります。
No.1
- 回答日時:
「一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通り」は5桁の整数の個数であり、条件 x0<=x1<=x2<=x3<=x4 を考慮に入れていませんね。
そこが間違いの原因です。この回答への補足
迅速な回答、大変感謝いたします。
指摘いただいて、ハッとしましたが、まだ完全に理解しきれていません。
>「一つに数につき10通り選べ、5つあるので10^5通り」は5桁の整数の個数であり、条件 x0<=x1<=x2<=x3<=x4 を考慮に入れていませんね
先に数字を5つ選び、それをあとから小さい順に並べる、という作業を考えてもだめなのでしょうか?
物わかりが悪くてすみません…。
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