x→a (aは定数)のとき、f(x)/(x-a)が極限値を持つとは

「x→a (aは定数)のとき、f(x)/(x-a)が極限値を持つ」…①とは
「f(x)＝(x-a)Q(x) 但しQ(x)はxの式」…②
と同値ですか？
僕は、②は①の必要条件だと思うのですが。
なぜなら、①を満たすようなf(x)が本当に存在するかがわからないと思うからです。
どう思いますか？

質問者からの補足コメント

• すみません。Q(x)はxの整式と定義したつもりだったのですが、「整」を打ち忘れていました。申し訳ございません。
  
  Q(x)がxの整式でないならば、
  ②⇒①が成り立たない、つまり、①と②は同値ではない、となるということがわかりました。
  
  ではQ(x)がxの整式ならば①と②は同値なのでしょうか？
  
  回答よろしくお願いいたします。

    補足日時：2015/06/30 22:45

• f(x)もxの整式です。
  度々すみません。

    補足日時：2015/06/30 22:55

• 

  回答ありがとうございます。
  「aはfの根」という言い方は初めて聞いたのですが、どういう意味ですか？
  よろしくお願いいたします。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/07/01 20:44

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/07/01 00:18

えええええ〜。

fもQも整式、って一番肝心なとこ書き落としたんすか。ったくー。

問1：「②が成り立つ時（すなわち整式f(x)について、Q(x)=f(x)/(x-a) が整式であるとき）に、Q(x)はx→aで必ず極限値を持つか？」

　f(x)なんか関係なく、ともかくQ(x)は整式なんだから、それが何であれ、当然x→aで有限の値Q(a)を持つ。問1の答はYES。当たり前すぎて馬鹿みたいです。

　つまり、②は①の十分条件である。


問2:「②が成り立たない時（すなわち、f(x)は整式だが、Q(x)=f(x)/(x-a)は整式ではない、という場合）に、Q(x)がx→aで極限値を持つことはあり得るか？」

　Q(x)=f(x)/(x-a)が整式ではないとすると、f(x)が(x-a)で割り切れないってことですから、ある整式P(x)と、ある0でない定数Rがあって、
　　f(x) = (x-a)P(x) + R
と書け、
　　Q(x) = P(x) + R/(x-a)
です。P(x)が整式なのでP(a)は有限の値。Rは0でない定数。だから、Q(x)がx→aで発散するのは明らかですね。問2の答はアリエナーイです。

　つまり、②は①の必要条件である。

　以上から、①と②は互いに必要十分条件であり、すなわち、互いに同値である、ってことです。

この回答へのお礼

f(x)が整式のとき、
「x→aのときf(x)/x-aが有限値に収束」
⇔「f(x)=(x-a)Q(x)となるxの整式Q(x)が存在する」
ということが解りました。

ありがとうございました！！

お礼日時：2015/07/01 20:39

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/07/01 21:13

>「aはfの根」という言い方は初めて聞いたのですが

http://www.weblio.jp/content/根

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/07/01 09:39

>f(x)もxの整式です。

これで答えがコロっと変っちゃうね。

②の十分性：

f(x)=(x-a)Q(x) なら f(x)/(x-a)=Q(x)

Qは整式だから極限値を持つ。

②の必要性:

①が極限値を持つならf(a)=0 → aはfの根 →
fは整式だから(x-a)を因数に持つ

この回答へのお礼

根と解は厳密には違うのですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/07/01 22:10

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2015/06/30 19:46

数学カテで「どう思いますか？」って質問も変なもんですが、えっとですね。

　x≠aを満たすあらゆるxについて
　　f(x) = (x-a)Q(x)
となる「xの式」Q(x)は
　　Q(x) = f(x)/(x-a) …(q)
と定義することによって、必ず作れます。どんなf(x)についてもそれに応じてQ(x)が作れるんだから、②は何も言ってないのと同じです。
　「②は①の必要条件か」と問えば、それは確かにその通りですが、何も言ってないんですから、もちろん、全く無意味です。

　さて、
　「x→a (aは定数)のとき、f(x)/(x-a)が極限値を持つ」…①
を上記のQ(x)を使って表すには、ただ(q)式を代入するだけです。その結果は
　「x→a (aは定数)のとき、Q(x)が極限値を持つ」
になりますね。記号を書き換えたということ以外は、全くそのまんまです。そのまんまなんだから、これは確かに①の必要十分条件です。そして、そのまんまなんだから何の役にも立たない訳です。

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2015/06/30 18:18

f(x)やQ(x)に対して何か条件はないのですか？

Q(x)はxの式
の意味がはっきりしません。
たとえば　Q(x) = 1/(x-a) は　xの式だと思いますが、
1=f(x)=(x-a)*(1/(x-a))
これだと上手く行きません。

f(x)、Q(x)は、xの多項式

とかの条件はありませんか？

この回答へのお礼

補足のとおり、タイプミスしてしまいました。申し訳ありませんでした。

ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/01 20:33

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/06/30 18:14

ロピタルの定理より ①のためには

lim(x→a)[f(x)/(x-a)]=lim(x→a)[f'(x)]=f'(a)

つまりf'(a)が有限で確定することが必要です。


＞「x→a (aは定数)のとき、f(x)/(x-a)が極限値を持つ」…①とは
「f(x)＝(x-a)Q(x) 但しQ(x)はxの式」…②
と同値ですか？

違います。


反例

lim(x→a)[sin(x-a)/(x-a)]=1

この回答へのお礼

！！
身近なところに反例が有りましたね！
気づきませんでした。精進します。
ありがとうございました！

お礼日時：2015/07/01 20:31

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/06/30 18:00

x-aが０なのでf(a)＝０です。

したがってｆ（ｘ）＝(x-a）Q(x)で
(x-a）で割り切れます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/07/01 20:29