多項式について

「x＾2－ｘｙ－2ｙ＾２＋ａｘ－ｙ＋１が1次式の積に因数分解されるようにaの値を求めよ」
という問題が数学の参考書に乗っていたのですが説明を読んでもいまいち分かりません。どうやら判別式を使うようなのですが・・・。やり方を教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2004/06/23 01:36

判別式を使った方がよいようです。

x^2-xy-2y^2+ax-y+1
=x^2-(y-a)x-2y^2-y+1・・・(1)
が１次式の積に因数分解されるということは、
(1)=(x-[yの１次式No.1])(x-[yの１次式No.2])となるということである。

つまり、(1)=0という「xの２次方程式」が、解として、
　　x = yの１次式No.1, yの１次式No.2
を持つということである。

(1)=0という「xの２次方程式」が上記のように解けるということは、x=？？？と解いた時に、√がはずれるということで、これは、「√の中身=何かの２乗」ということである。

「√の中身」というのは判別式なので、(y-a)^2-4(-2y^2-y+1)が「何かの２乗」になっているはずである。

(y-a)^2-4(-2y^2-y+1)はyの２次式なので、(y-a)^2-4(-2y^2-y+1)=(y-[aの式])^2ということである。

つまり、yの２次方程式(y-a)^2-4(-2y^2-y+1)=0はy=[aの式]という重解を持つということである。

(y-a)^2-4(-2y^2-y+1)=9y^2-2(a-2)y+a^2-4なので、
判別式=4(a-2)^2-4×9(a^2-4)=0である。
変形すると、(a-2)(2a+5)=0なので、a=2, -2/5・・・（答）

注：a=2の時は既に解答がありますが、a=-2/5が見落とされています。実際、a=-2/5のとき、問題の式は、(1/2)(x-2y-2)(2x+2y-1)と因数分解されます。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2004/06/23 01:38

No.4のspringsideです。

写し間違えました。

（誤）a=2, -2/5
（正）a=2, -5/2

No.3 回答者： edomin 回答日時： 2004/06/22 23:05

判別式を使うんですか？

普通に・・
x^2-xy-2y^2+ax-y+1を因数分解してみましょう。
=x^2-xy+ax-(2y^2+y-1)
=x^2+(a-y)x-(2y-1)(y+1)
なので、たすきがけをして
(y+1)-(2y-1)=a-y
y+1-2y+1=a-y
2-y=a-y
a=2
から、
x^2-xy-2y^2+2x-y+1を因数分解すると
=x^2-xy+2x-(2y^2+y-1)
=x^2-(y-2)x-(2y-1)(y+1)
=(x-2y+1)(x+y+1)
になります。
よって
a=2

No.2 回答者： ssaass 回答日時： 2004/06/22 23:00

答えじゃなくてヒントだけ。

「x＾2－ｘｙ－2ｙ＾２＋ａｘ－ｙ＋１」が1次式の積に因数分解できるということは、、、
(px+qy)(rx+sy)の形に因数分解できるということですね？

では、x＾2－ｘｙ－2ｙ＾２＋ａｘ－ｙ＋１ = 0 という式を考えてみましょう。この式の左辺がさっきの形に因数分解できるんですよね？ (px+qy)(rx+sy)=0

言い過ぎましたか・・。

No.1 回答者： nabla 回答日時： 2004/06/22 22:59

とりあえず２次の項を因数分解してみましょう。

すると、
(x+y)(x-2y)+ax-y+1
となります。
よって、これが１次式の積で因数分解されるためには、２次の項と定数項を比較するとどう考えても
((x+y)+1)((x-2y)+1)
となるか、
((x+y)-1)((x-2y)-1)
となるしかないですね。
しかし後者は展開してみると、
(x+y)(x-2y)-2x+y+1となって、yの項が不一致。
だから因数分解の形は前者と分かるので、
あとはこれを展開すればa=2となります。