人生最悪の忘れ物

前回の質問の続きです。
前回の質問内容:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7818206.html

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
(1)y”+y’-2x=0
(2)y’+xy=1
(3)(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
(1)(y”)^2+y’-2x=0
(2)x(y”’)^3+y’=3
(3)y・y’+xy=1

上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか?

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか?
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか?

線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

A 回答 (4件)

←A No.3 補足



> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか?


また、
> yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、
のようなことが気になってしまうなら、

yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の
どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か?
と考えてみるとよいと思います。

微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を
代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。
それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。
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微分方程式というより、高校数Iで「多項式の次数」を確認した方がよいかも。


複数の変数に関する次数は、各変数に別のひとつの変数を代入したときの
「別の変数」に関する次数と一致します。
例えば、多項式 (u-1)(v^2+v+1) は、u について 1 次、v について 2 次、
{u,v} については 3 次です。u = v = t を代入すると、t について 3 次
ですからね。

これと同様に
(a) yy’+xy=1
(b) xy’+xy=1
が {y,y'} について何次式かを考えると、(a) は 2 次式(項 yy' が 2 次)、
(b) は 1 次式になっています。項 xy' の x は、{y,y'} に入っていないので
微分方程式の次数には関係しません。

この回答への補足

いつもご回答ありがとうございます。

ポアソン方程式が、2階の線形偏微分方程式であることは理解できた
のですが、与えられた微分方程式が線形なのか非線形なのか理解
できません。

>例えば、多項式 (u-1)(v^2+v+1) は、u について 1 次、v について
>2 次、{u,v} については 3 次です。u = v = t を代入すると、t について
>3 次ですからね。
ご指摘の点に関しては理解できています。

y’について、
yy’とxy’はなぜ、どちらも同じ次数ではないのでしょうか?
y’y’ならば2次として理解できます。

多項式においてxとyを共に変数とすると、
xyもyyもどちらも2次ですよね?

yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、微分している
変数の次数としては等しいと考えています。
なぜ、xy’は1次なのにyy’は2次として考えるのでしょうか?


お手数をお掛けしますが、何卒ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/12/03 23:23
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 線形常微分方程式の一般形をあげておきます。

でも書ける記号に制限があるので、3階にとどめておきます・・・(^^;)。

   a(x)・y’’’+b(x)・y’’+c(x)・y’+d(x)・y=p(x)    (1)

ここで、a(x)~d(x)とp(x)は既知関数です。つまりyのn階微分の一次式(足し算)になるのが、線形微分方程式です。その意味で、y’+x-1/y=0は、1/yが入っているので駄目です。もちろん割ったら線形微分方程式になっちゃった、って場合はありますよ。その辺はもう、用語の問題です。一次式の事を、線形式とか線形結合とも言います。線形の名は、ここから来ています(例:線形代数 ⇒ 一次式,一次関数の一般理論とも言える)。

 線形微分方程式が重要なのは、ほとんど必ず「解ける」からです。一番素直なのは、やはり定数係数のケースなので、例としては、

  a・y’+b・y=p(x)   (2)

をあげときます。a,bはxによらない定数です。まず定数係数の斉次方程式、

  a・y’+b・y=0     (3)

に関しては、yの何回微分であろうと、特性方程式による解の公式があります。(3)に対してその解を、C・f(x)としときます。Cは積分定数です。C・f(x)は、(3)の一般解です。

 非斉次の方程式(2)の一般解はと言うと、何でも良いから(どんな手段を使っても良いから)、(2)を満たす関数を一個見つければ良いんです。それをg(x)とします。g(x)は(3)の特殊解と言われますが、(3)の一般解は、

  y(x)=C・f(x)+g(x)   (4)

となります。C・f(x)は「=0」を満たし、g(x)は「=p(x)」を満たす関数です。(4)は結果として、(2)の解は「=0+p(x)(=p(x))」に対応して、C・f(x)とg(x)の足し算だと言っています。これがどういう意味を持つかと言うと、次のようになります。

 (2)や(3)の左辺の係数a,bは多くの場合、問題にしている系の性質から決まり、系の挙動を定義します。一方、右辺の0やp(x)は、系に対する入力で、y(x)はその出力です。従って(4)の意味は、(2)や(3)の左辺で表される系の出力は、入力の足し算に従うという事です。すなわち、

  a・y’+b・y=p(x)   (5)

と、

  a・y’+b・y=q(x)   (6)

の一般解J(x)とK(x)が見つかったら、J(x)+K(x)は、

  a・y’+b・y=p(x)+q(x)   (7)

の一般解なんですよ。

 出力が入力の足し算に従う事(足し算を線形と呼んだりする事)から、線形微分方程式の名が付きます。そしてそのような事が一般的に可能なのは、微分の性質から、(1)の形に限られます。J(x)+K(x)を(7)に代入して、(5),(6)を考慮すれば明らかですよね?。

 その意味で、ラプラス方程式はポアソン方程式に対する斉次方程式であり、どちらも線形偏微分方程式です。ここからグリーン関数の方法が可能になって、常であろうと偏であろうと、線形微分方程式の形式解は、ほぼいつでも見つかります。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
ポアソン方程式は、2階の線形偏微分方程式なのですね。

(a)y・y’+xy=1
(b)x・y’+xy=1
aは非線形なのに、なぜbは線形なのでしょうか?
y’+y-1/x=0として、1/xが入っていますが、非線形にならないのは
なぜでしょうか?


ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/12/02 19:52
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>ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式である


Poisson(ポアソン)方程式は線形ですよ.線形非同次です.同次は斉次ともいいます.同次,非同次の概念は線形方程式を解くにあたって重要です.

常微分方程式の線形,非線形の分類に間違いはありません.

>非線形微分方程式
>(1)(y”)^2+y’-2x=0
>(2)x(y”’)^3+y’=3
>(3)y・y’+xy=1

これらはy,y',y'',・・・について1次でない(線形でない)から非線形なのです.

>非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか?

(3)もyy'は2次でしょう.だから非線形です.

>y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか?

1/yは1次ではありません.これが非線形の項です.

>線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
>でしょうか?

いえy',yの1次なので線形です.

なお,線形の(1)(2)は非同次,(3)は同次.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
http://okwave.jp/qa/q7818206.html
にて頂いたご回答内容では、ポアソン方程式は非線形と言う
ことだったのですが、ポアソン方程式は線形なのでしょうか?


微分方程式の任意の2つの解が線形結合で表さるかどうかで
線形/非線形を説明していて、そうするとポアソン方程式は
非線形となりました。


>y,y',y'',・・・について1次でない(線形でない)から非線形なのです.
についてなのですが、1次とはどう言う意味でしょうか?
(a)y・y’+xy=1⇒は1次でない。
(b)x・y’+xy=1⇒は1次ですよね。
aとbの違いがわかりません。。。


ご回答よろしくお願い致します。

補足日時:2012/12/02 16:14
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