助けてください！！ 最大値?

問
　平面上で次の不等式を同時に満たす点Ｐ(ｘ，ｙ)の集合をＤとする。
　　ｘ≧０、ｙ≧０・・・(1)
　　(２ｘ＋ｙ－８)(ｘ＋ｙ－５)≦０・・・(2)
　点Ｐ(ｘ，ｙ)がＤ上を動くとき、ｘｙの最大値を求めよ。


一応、自分なりに考えてみまして↓
(2)´
ⅰ)ｙ≧－２ｘ＋８かつｙ≦－ｘ＋５
ⅱ)ｙ≦－２ｘ＋８かつｙ≧－ｘ＋５

(1)、(2)´からグラフを書いてみて、Ｄらしきものはみえたのですが
あってるかどうか…(＾＾;)
交点(３、２)で、三角形が２つできました!

で、ここからどうしたらいいのかわかりません
ｘｙの最大値の求め方がわかりません

相加相乗かな?とも思ったんですがどう使えばいいのやら…

お願いします！！(＞＜)

No.1 ベストアンサー 回答者： looker1986 回答日時： 2008/02/02 20:31

最大値の問題の解き方は幾つかありますが、

この問題の場合次のように考えてみましょう。

まず、xが一定ならば、yが最大のとき、xyは最大になります。

つまり、D上でxyを最大にするような点Pの「候補」は
Dの上側の部分だということになります。
「く」の字を斜めにしたような折れ線の部分ですね。

では、この折れ線部分でxyを最大にするような点は
どうやればもとまるでしょう？

この部分ではyをxの式で表わせているので、
xyはxだけの式で表わせるはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございます!!

ｙ＝－２ｘ＋８→ｘｙ＝－２ｘ^2＋８ｘ
　　　　　　　　　　＝－２(ｘ－２)^2＋８
　　　　　　　
　　　　　　　→ｘ＝２のときｘｙ＝８

ｙ＝－ｘ＋５　の場合も同様に
　　　　　　　
　　　　　　　→ｘ＝5/2のときｘｙ＝25/4

よって、最大値ｘｙ＝８　であってますかね…？

「xが一定ならば」と勝手に仮定するところがよくわかりません(＾＾;)

お礼日時：2008/02/02 22:10

No.4 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/03 01:21

＞　考え方２)のオマケの

＞　最大値の求め方がイマイチわからないです。。
＞　６になってしまうんですが…
何で？それじゃ、まあ、なるべく丁寧に、#1,3さんが言われているように、xを固定して考えてみる。

まず、0 ≦ x ＜ 3 の範囲で x = α で固定したとしよう。
このとき、y の範囲は、-α + 5 ≦ y ≦ -2α + 8
故に x = α で固定したときに x y を最大にする y は、 y = -2α + 8 のときで、
xy の最大値は α (-2α + 8) = -2(α - 2)^2 + 8
x = α の値によって、x y の最大値がこのように変化するということ。
0 ≦ α ＜ 3 なので、α = 2 のとき x y は最大となり、最大値は 8

3 ≦ x ≦ 5 の範囲も念のために調べておくと、
x = α において、-2α + 8 ≦ y ≦ -α + 5
・・・・
以下はご自分で。最大値は α = 3 のとき 6 となります。

よって、最大値は 点(2,4) で 8

この回答へのお礼

わかりました!!ありがとうございます(＞＜)

お礼日時：2008/02/03 13:27

No.3 回答者： looker1986 回答日時： 2008/02/02 23:41

>つまり、D上でxyを最大にするような点Pの「候補」は

>Dの上側の部分だということになります。
>「く」の字を斜めにしたような折れ線の部分ですね。

この部分を読み飛ばしていませんか？
この問題はただ代入するだけではダメです。
「答え」は８ですが、「解答」としては不正解です。

順を追って説明します。
この問題は何が難しいか？
それは相手が２変数だということです。xyという関数はxとyが別々に動きます。
しかも、完全に自由ではなく「D上」という制限がついているのです。
いままで解いてきたのは基本的に変数は１つでした。

ではどうするか？
１変数で考えるのです。
つまり、片方の変数を固定したときに、
xyが最大になるのはどこか？を考え、その後で固定していた変数を動かしてやるのです。

例えば、x=1のときを考えてください。
片方を固定してやれば、点Pの動ける範囲は限られますね。
図で点Pの動ける範囲を考えてください。
このとき、図より、yの範囲は4≦y≦6ですね。
ということは、4≦xy≦6で、y=6のとき、xyは最大値6です。

他に、x=4のときは、yの範囲は0≦y≦1ですね。
ということは、0≦xy≦4で、y=1のとき、xyは最大値4です。

などと考えていくと、同じxに対しては、
yが最大のとき、xyは最大ということがわかります。

つまり、先程の回答のような考えに至るわけです。
「「く」の字を斜めにしたような折れ線の部分」、わかりましたか？

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/02/02 21:57

＞　(1)、(2)´からグラフを書いてみて、Ｄらしきものはみえたのですが

そこまではＯＫ。グラフを書くのは大事ですね。

考え方１）
それでは、xy = c という曲線を考えてみましょう。例えば、xy = 1 というグラフをＤと重ねて書いてみる。曲線 xy=1 はＤの内部を通るでしょう。Ｄの内部の曲線 xy = 1 上の点というのは、あたりまえだけど xy が1になる点の集合。と考えると、Ｄの内部でxyの最大値を求めるというのは、xy = cという曲線がＤと交点を持つように最大のｃを定める事と同じだ。
ということで、ｃを大きくすると曲線 xy = c のグラフがどう動くかを考えれば、xy = c が領域Ｄの上の方で接するようにｃを定めればよいことが分かります。
2x+y-8=0 と xy=c が接するような c と、x+y-5=0 と xy=c が接するような c をそれぞれ求めて、接点の座標およびxyの値を吟味すればどこで最大になるのか分かります。

考え方２）
#1さんのお話・・・勝手にオマケ
(x,y)∈Ｄのとき、
x＜3 なら　y ≦ -2x + 8　→ xy ≦　？？？
3≦x≦5 なら　y ≦ -x + 5　→ xy ≦　？？？
なので、上式の右辺の最大値をそれぞれの変域で求めれば良い。

この回答へのお礼

ありがとうございます!!
またまたお世話になってます(＾＾;)

考え方２)のオマケの
最大値の求め方がイマイチわからないです。。
６になってしまうんですが…

お礼日時：2008/02/02 22:23