数学、因数分解

kを定数とする２次式x^2+３xy+２y^2-３x-５y+kがx、yの一次式の積に分解できるとき、k=［ア］であり、因数分解の結果は(x+［イ］y+［ウ］)(x+［エ］y+［オ］)である。

この問題の
詳しい解答をお願いします。


答え ア→２、イ→１、ウ→ー２、エ→２、オ→ー１

No.5 ベストアンサー 回答者： ninoue 回答日時： 2011/10/06 11:18

x,yの2次の項を見ると次の形の積となっている事が分ります。

f=(x+y)(x+2y);

従って次の形を仮定して解いて行きます。
F=(x+y+a)(x+2y+b)=x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k=0;

これから次の式が成立する筈です。
a+b=-3;
2a+b=-5;
ab=k;

これらから答はすぐに求まります。

No.4 回答者： XTRAIL1145 回答日時： 2011/10/05 08:04

与式＝０として、これをxについての二次方程式を見なし、「解の公式」を利用して解いてみます。

　x^2+3xy+2y^2-3x-5y+k＝x^2＋(3y－3)x＋(2y^2－5y＋k)＝０　とします。

すると、x＝｛－(3y－3)±√D｝/2　＊Dは判別式　　（A）

（A）をよく見ると、Dがyについての完全平方式(　)^2の形なら√　はとれるので

つまり、xについて解いたときの「x＝～」がyの一次式になっているということです。


ということで、判別式Dについて調べると…

　D＝(3y－3)^2－4×1×(2y^2－5y＋k)
　　＝y^2＋2y＋(9－4k)　（B）

…となり、これが「yについての完全平方式」であればよいことになります。


（B）の判別式D=0であればよいということになります。

D=y^2+2y+9-4k=0
2^2-4(9-4k)=0
4-36+16k=0
-32+16k=0
k=2

　→この時D＝(y+1)^2

　→更に、（A）から解は

　　x＝{-(3y－3)±√D｝/2

　　 ＝{-(3y－3)±(y+1)}/2

　　 x＝－y+2,-2y+1
となりますので
これより、与式＝０としたxの方程式…(x＋y-2)(x＋2y－1)=0

与式＝(x＋y－2)(x＋2y－1)

No.3 回答者： eco1900 回答日時： 2011/10/05 00:05

話が脱線したかに思えますが・・・

【例】「x＝1，－2」という解をもつ二次方程式の一つは、「a(x－１)(x＋２)＝０」というこおが分かっていれば、その考え方を利用します。


・・では、本題について解説してみますね^^A。

与式＝０として、これをxについての二次方程式を見なし、「解の公式」を利用して解いてみます。

　x^2+３xy+２y^2-３x-５y+k＝x^2＋(３y－３)x＋(２ｙ^2－５y＋k)＝０　とします。

すると、x＝｛－(３y－３)±√D｝／２　＊Dは判別式　　（あ）

（あ）をよく見ると、Dがyについての完全平方式(　)^2形なら√から解放されますね。

つまり、xについて解いたときの「x＝～」がyの一次式になっているということです。


ということで、判別式Dについて調べると…

　D＝(３y－３)^2－４×1×(２ｙ^2－５y＋k)
　　＝y^2＋２y＋(９－４k)　（★）

…となり、これが「yについての完全平方式」であればよいことになります。


そのためには、更に（★）＝０とした判別式dが０であればよいということになります。

（★）＝０の判別式dについて…

　d/4＝1^2－1×(９－4k)　＊yの係数が２(偶数)なので簡単形式の判別式d/4を利用しました）
　　　＝－８＋４k
　　　＝０　　よって、k＝２

　→この時（★）からD＝(y＋１)^2

　→更に、（あ）から

　　x＝｛－(３y－３)±√D｝／２

　　 ＝{－(３y－３)±(ｙ＋１)}／２

　　 ＝－y＋２，－２y＋１

これより、与式＝０としたxの方程式って…(x＋y－２)(x＋２y－１)＝０

結局、与式＝(x＋y－２)(x＋２y－１)

＊長々となりましたが、こんな感じでしょうか^^A

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2011/10/04 23:36

答えが出ているから、解き方だね。

数式だけで理解しようとしないこと！　まずこれ頭に入れて？

今、何が分かっていて、何が分からない？

問題に何が書いてある？　こっちを理解することが先！

二次式がでてるね、それを因数分解するとこうなります。

と、問題に書いてある。

だったら、（因数分解された式の展開式）＝（問題の二次式）

これはいいかな？　答えは問題の中に書いてあるんだ。

後は掘り出せばいい。

何が分からない？　σ(・・*)にはそれが分からない。

問題がよく読めていないのかな？

だったら国語の問題です。


ざっと行くね。

(x+ay+b)(x+cy+d)=x^2+３xy+２y^2-３x-５y+k

a,b,c,d　は　適当に置きました。

（左辺）＝x^2+ (a+c)xy + (b+d)x + acy^2 + (bc+ad)y +bd

ここから　係数を比較すると、

(a+c)=3 , (b+d)=-3 , ac=2 , (bc+ad)=-5 , k=bd

整理していくと　

a=3-c (3-c)*c=2 -c^2 +3c -2=0 c^2 -3c +2=(c-1)(c-2)=0 c= 1,2

a=2,1 きれいに書くと　＃ちょっと危なっかしい　(a,c)=(2,1) or (1,2)

計算間違いしてるかな？　答えが二つ出てくるぞ？

だから質問？　問題はあってますか？

σ(・・*)間違ってない？
(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2011/10/04 22:37

(x+［イ］y+［ウ］)(x+［エ］y+［オ］)を展開して、

x^2+３xy+２y^2-３x-５y+k　と係数比較すれば連立方程式になるのでそれを解いて下さい。

まあ展開しなくても
イ＊エ＝２　・・・ｙ＾２の係数
イ＋エ＝３　・・・ｘｙの係数
ウ＋オ＝－３　・・・ｘの係数
ウ＊エ＋オ＊イ＝－５　・・・ｙの係数
ウ＊オ＝ｋ　・・・定数項
は式をよく見て考えれば出てきますが・・・。