3次元極座標から2次元極座標への発散の変換（θ=π/2）

三次元極座標（r,θ,φ）の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標になるはずですが、何度計算してもそうはなりません。なにか勘違いをしているのでしょうか？
以下で偏微分の記号をd/drに変えて書かせてせて頂きます。

三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)発散のrに関する項は（θ=π/2としてd/dθの項を消す。ちなみにこの操作は発散のrに関する偏微分の項に何の影響も与えません）
1/(r^2) d/dr(r^2 * A1)
です。


一方、二次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)の発散のrに関する項は
1/r d/dr(r * A1)

となり、一致しません 。これが私の計算間違いなのかそもそも一致しないのが正しいのか
また、一致しないとすればその本質的な原因はなんなのでしょう？

どなたかご教授いただけないでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 間違い・・・三次元極座標（r,θ,φ）の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標になる
  訂正・・・三次元極座標（r,θ,φ）の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標における発散を表す演算子になる
  
  間違い・・・二次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)の発散のrに関する項
  訂正・・・二次元極座標(r,θ)においてベクトル場A(A1,A2)の発散のrに関する項

    補足日時：2015/08/22 16:13

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/23 08:57

ANo.2へのコメントについてです。

> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

　ご質問にある

> 三次元極座標（r,θ,φ）の発散

という何とも乱暴な（座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ）言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

　　(1)ベクトル場Aは３次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
　　(2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応させる、
という値域の話とをごっちゃになさっているだけではないか？

と推測される。というのは、ご質問にある、

> 三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)

ってところ、「三次元極座標においてベクトル場A」を考えているのなら、それは(1)を意味している。また、「ベクトル場A(A1,A2,A3)」という部分は(2)を意味している(っぽい）。両者は別々の話なのに、一緒くたにして書いてある。
　「AはA:R^3→R^3であるものとする」とでも宣言してあれば何の話なのかはっきりするのだけれども、それがご質問に書いてないということは、「A:R^3→Xである。その定義域R^3をある曲面に制限すると…」って話と「A:Y→R^3である。その値(∈R^3)をある曲面（の接平面）に射影すると…」って話が混在していることが疑われるな、と思います。

　（円柱座標であろうと何座標であろうと関係なしに）定義域が３次元空間に広がっていて値域が３次元ベクトルである場Aについて、その定義域をひとつの平面上に限定して考えてみたって、「各点に3次元ベクトルが対応している」という値域についての話には何の違いもなく、なので、定義域を限定しただけじゃ2次元のdivergenceなんか出てこない。（わざわざ式を書いてみなくたって）当たり前ですけど、えーと、これは腑に落ちますかね？
　さて、

> そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、2次元極座標のdivergenceと一致する

の「消す」の意味ですけど、それは「消えるようにする」ということではなく、自分で勝手に「無視する」という意味でしょう。 この操作によって、R^2→R^2の別のベクトル場を作る。するだとすればそれはまさしく、ANo.2でθ=0のところで説明した、射影で作ったベクトル場Bのこと。
　で、以下はANo.2の繰り返しですけど：

　すなわち、Bは、Aの3つの成分のうち、z=0の平面と直交する成分を無視したもの。従って、Bはこの平面上の各点にベクトルを対応させ、しかもそのベクトルはこの平面と平行な2次元ベクトルである。
　そういう２次元ベクトル場Bについてなら、3次元のdivergenceと2次元のdivergenceと「一致する」のは当たり前である。これはAとは何の関係もない話で、最初っから平面上で任意の2次元ベクトル場B:R^2→R^2を考えれば当たり前に成り立つことである。

　θ≠0の場合には、円錐面上の各点について、その点で円錐面と直交する成分を無視してBを作る、という「操作」をする話になる。もちろんAとは関係なく、最初っから円錐面上で任意のベクトル場B（ただし、Bの各点におけるベクトルはその点において円錐面と平行である、という制約がつく。）を考えれば良い。なお、Bを直交座標で表現すれば、「Bは各点に3次元ベクトルを対応させるが、ただし、その3次元ベクトルには制約がひとつ付く（ので、自由度は2つしかない）」というふうに書くことになる。

　そして、特にご質問のθ=π/2の場合については円錐面が直線に縮退するんで、無視しないで残るのは成分ひとつだけ、つまりスカラー場。直線上にスカラー値が並んでいるわけで、すなわちBってのはただの、1変数の実関数 R→R のことです。

この回答へのお礼

stomachmanさん。何度も回答ありがとうございます。分かったかもしれません。

円柱座標(ρ,φ,z)でベクトル場A(A1,A2,A3)の発散を考えます。ρ：動径、φ：方位角、z：xy平面からの高さ。ここでAはA(A1(ρ,φ,z),A2(ρ,φ,z),A3(ρ,φ,z),)とします。
この時、発散を考えると変数を明示して書くと（みにくくてすいません）

∇・A=1/ρ ∂/∂ρ (ρ*A1(ρ,φ,z))+1/ρ ∂/∂φ(A2(ρ,φ,z)) + ∂/∂z(A3(ρ,φ,z))
となります。
もしA3=0とおくと
∇・A=1/ρ ∂/∂ρ (ρ*A1(ρ,φ,z))+1/ρ ∂A2(ρ,φ,z)・・・①

一方2次元極座標(ρ,φ)でのベクトル場B(B1(ρ,φ),B2(ρ,φ))の発散は
∇・B=1/ρ ∂/∂ρ (ρ*B1(ρ,φ))+1/ρ ∂/∂ρ(B2(ρ,φ))・・・②

ここで、z=0平面上の点P = (x,y,0)におけるAのz方向成分A3を無視したものをBとします。

①と②が一致しないのは明らか。

しかし、積分領域をxy面内に限る場合に、円柱座標を用いると
∫∇・AdV =∫∇・BdS　　

でしょうか

お礼日時：2015/08/23 16:21

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/23 09:27

>そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、

>2次元極座標のdivergenceと一致するので、

一致しませんよ。次元がおかしくなります。

いずれにしても変換の根拠がなさすぎ。

それぞれ別々に発散がどうなるかきちんと考えるべきです。
一致すると考える方が不自然です。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/23 00:13

もしかして、θってのは天頂角のおつもりなんだろうか。

（明示的に書いて貰わんと分からんのだが。）ま、そういう意味だとしましょか。で、3次元ベクトル場Aをひとつ、勝手に持ってきたとする。

　θを一定値にしたとき、特にθ=0に固定したときにはz=0の平面である。まずはこの場合について考えましょ。というのは、この場合を考えるだけで、ご質問の根本的誤りが露呈するからです。（その要点は、ANo.1に既に出ていますけど。）
　さてこのとき、「ベクトル場Aの、この平面上のある点でのdivergenceは？」と尋ねるのは、「ベクトル場Aの、3次元空間の中のある点でのdivergenceは？あー、ついでながら、その点はたまたまz=0の平面上にあるんだけどね」というのと同じ事です。つまり、3次元ベクトル場のdivergenceを尋ねているには違いない。
　一方、z=0の平面上で定義された2次元のベクトル場Bを考える。Bは2次元のベクトルなんで、Bをどう選んでもAと同じにはなりえない。それでもま、BをAになるべく似せようよ、ってんで、たとば、z=0平面上の点P = (x,y,0)におけるAのz方向成分A3を無視したものがBであるとする。つまり「AのPにおけるベクトルA(P)をz=0の平面に射影した2次元ベクトルをベクトル場BのPにおける値B(P)とする」ってことです。
　そうすると、ともあれ、Bにはz方向成分なんかない。ってことは∂B/∂z=0である。なので、Bの3次元のdivergenceは、Bの(z=0の平面上の）2次元divergenceと同じである。
　でもAのdivergenceはこれとは（AとBがまるで別物なのだから）当然一致しない。（z=0を満たすすべての点(x,y,0)において、∂A/∂z=0 がたまたま成り立つようなAを選んじゃった、という場合を除いては。）

　さて、θを一定値にしたとき0＜θ＜π/2であれば、残る自由度が表す空間は円錐面である。「ベクトル場Aの、3次元空間の中のある点でのdivergenceは？あー、ついでながら、その点はたまたま円錐面上にあるんだけどね」という話と、「B(P)とは、円錐面上の点Pにおけるベクトル場Aの値A(P)を、円錐面に射影した2次元ベクトルである。そのdivergenceは？」とは、まるで別である。

　θを一定値にしたとき、それがθ=π/2であれば、残る自由度が表す空間は直線。で、「ベクトル場Aの、3次元空間の中のある点でのdivergenceは？あー、ついでながら、その点はたまたま直線上にあるんだけどね」という話と、「B(P)とは、直線x=y=0上の点Pにおけるベクトル場Aの値A(P)を、この直線に射影した1次元ベクトルである。そのdivergenceは？」とは、まるで別である。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございました。stomachmanさんの内容を理解するにはもう少し時間がかかりそうです。:(

そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、2次元極座標のdivergenceと一致するので、
3次元極座標ではθ=π/2にしてθに関する微分を消せば一致するはずだと考えてしまいました。

お礼日時：2015/08/23 02:57

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/22 21:18

＞三次元極座標（r,θ,φ）の発散において、θ=π/2と置き換えθに関する偏微分の項を消せば二次元極座標における発散を表す演算子になる

何を言っているんですか。
θ=π/2と置き換えるということはθ=π/2における３次元の発散を計算しています。２次元ではありません。