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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
x^2-(a+2)x+2a <0 ・・・・・(ア)
を解くと
(x-2)(x-a)<0 ・・・・・(イ)
(i) a<2 のとき
(ア)の解は、(イ)より
a<x<2
このとき、(ア)を満たす整数 x がただ1つ存在するとき、
整数 x は x=1 であり、そのときの整数 a の値は a=0
(ii) a=2 のとき
(ア)の解は、(イ)より
(x-2)^2<0
となり、解なし である
よって、(ア)を満たす整数 x は存在しない
(iii) 2<a のとき
(ア)の解は、(イ)より
2<x<a
このとき、(ア)を満たす整数 x がただ1つ存在するとき、
整数 x は x=3 であり、そのときの整数 a の値は a=4
(i)、(ii)、(iii)より
求める整数 a の値は
a=0, 4
この不等式は、(イ)のように因数分解できます。
ただし、a の値によって、答えが変わるので、
(i)、(ii)、(iii)のように場合分けをします。
(ii)の場合は重解だから解なしになります。
だから、(i)と(iii)の場合の a の値が、求める答えになります。
(ア)を満たす整数 x がただ1つ存在するとき、
(i) の場合 x の値は、 2 より 1 小さい 1 だから、
a<1<2 を満たす整数 a は 0 になり、
(iii) の場合 x の値は、 2 より 1 大きい 3 だから、
2<3<a を満たす整数 a は 4 になります。
No.3
- 回答日時:
まずは
y = x^2-(a+2)x+2a
のグラフを、大雑把に描いてみましょ。いや、x軸のどこを横切るか、なんてことはこの段階ではどうでもよくって、要するに「何を相手にしているのか」というイメージを掴むだけです。
さて、x^2-(a+2)x+2a <0 となるxが存在するとはどういうことか。それは、描いたグラフを眺めれば分かるように、xに関する二次方程式
x^2-(a+2)x+2a = 0
が二つの実解を持つということです。ってことは、この方程式の判別式をDとすると、
D>0
だということですね。
それらの解をα, β(ただしα<β)としましょう。具体的にα, βを書き下してみれば、aが整数である場合、αもβも整数になることに気付くでしょう。(気付いたら、証明しなくちゃいけません。簡単ですね。)
次に、x^2-(a+2)x+2a <0 となるxの【整数値】が存在するってことは、
α<n<β
となる整数nこそが、その「xの整数値」だということです。そして、x^2-(a+2)x+2a <0 となるxの整数値が【ただ1つ】存在するってことは、すなわち、
β-α≦2
だということです。(これも証明は簡単。もしβ-α>2だったら、αとβの間に2個以上の整数が嫌でも入るからです。)
一方、二次方程式の解の公式から、
β-α = √D
であることが分かります。なので、
√D≦2
でなくてはならない。
以上を振り返ってみましょ。整数α, βがα<βかつβ-α≦2であるということは
β-α=1
であるかまたは
β-α=2
であるということ。
さらに「α<n<βとなる整数nが存在する」んですから、そのためには、
β-α=2
でなくてはならない。ってことは、
√D = 2
α = n-1
β = n+1
だと分かります。
…という風に解きほぐして行くんです。問題を「解く」ってのはそういう意味。
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