二次不等式について

不等式x^2-(a+2)x+2a <0 を満たすxの整数値がただ1つ存在するような整数aの値を求めよ。

答え: 0 , 4

解説お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/08/29 19:38

x^2-(a+2)x+2a <0 ・・・・・（ア）

を解くと
(x-2)(x-a)＜０ ・・・・・（イ）

(i)　a<2 のとき
（ア）の解は、（イ）より
a<x<2
このとき、（ア）を満たす整数 x がただ１つ存在するとき、
整数 x は　x=1　であり、そのときの整数 a の値は　a=0

(ii)　a=2 のとき
（ア）の解は、（イ）より
(x-2)^2<0
となり、解なし　である
よって、（ア）を満たす整数 x は存在しない

(iii)　2<a のとき
（ア）の解は、（イ）より
2<x<a
このとき、（ア）を満たす整数 x がただ１つ存在するとき、
整数 x は　x=3　であり、そのときの整数 a の値は　a=4

(i)、(ii)、(iii)より
求める整数 a の値は
a=0, 4

この不等式は、（イ）のように因数分解できます。
ただし、a の値によって、答えが変わるので、
(i)、(ii)、(iii)のように場合分けをします。
(ii)の場合は重解だから解なしになります。
だから、(i)と(iii)の場合の a の値が、求める答えになります。

（ア）を満たす整数 x がただ１つ存在するとき、
(i) の場合　x の値は、 2 より 1 小さい 1 だから、
a<1<2 を満たす整数 a は 0 になり、
(iii) の場合　x の値は、 2 より 1 大きい ３ だから、
2<3<a を満たす整数 a は 4 になります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すごくわかりやすかったです。

お礼日時：2015/08/29 20:00

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/29 19:56

まずは

　　y = x^2-(a+2)x+2a
のグラフを、大雑把に描いてみましょ。いや、x軸のどこを横切るか、なんてことはこの段階ではどうでもよくって、要するに「何を相手にしているのか」というイメージを掴むだけです。

　さて、x^2-(a+2)x+2a <0 となるxが存在するとはどういうことか。それは、描いたグラフを眺めれば分かるように、xに関する二次方程式
　　x^2-(a+2)x+2a = 0
が二つの実解を持つということです。ってことは、この方程式の判別式をDとすると、
　　D＞0
だということですね。
　それらの解をα, β（ただしα＜β）としましょう。具体的にα, βを書き下してみれば、aが整数である場合、αもβも整数になることに気付くでしょう。（気付いたら、証明しなくちゃいけません。簡単ですね。）

　次に、x^2-(a+2)x+2a <0 となるxの【整数値】が存在するってことは、
　　α＜n＜β
となる整数nこそが、その「xの整数値」だということです。そして、x^2-(a+2)x+2a <0 となるxの整数値が【ただ1つ】存在するってことは、すなわち、
　　β-α≦2
だということです。（これも証明は簡単。もしβ-α＞2だったら、αとβの間に2個以上の整数が嫌でも入るからです。）
　一方、二次方程式の解の公式から、
　　β-α = √D
であることが分かります。なので、
　　√D≦2
でなくてはならない。

　以上を振り返ってみましょ。整数α, βがα＜βかつβ-α≦2であるということは
　　β-α=1
であるかまたは
　　β-α=2
であるということ。
　さらに「α＜n＜βとなる整数nが存在する」んですから、そのためには、
　　β-α=2
でなくてはならない。ってことは、
　　√D = 2
　　α = n-1
　　β = n+1
だと分かります。　

…という風に解きほぐして行くんです。問題を「解く」ってのはそういう意味。

No.1 回答者： soixante 回答日時： 2015/08/29 19:15

因数分解すると

(x-a)(x-2)<0 となります。

グラフを描いてみると見えてくると思います。
この二次曲線がｘ軸と交わるところ。