高校数学、論理

(問題）
a≧０であることは、「任意の正の数ｘについてa+x≧０」であるための（）
（解説）
a≧０ならば、「」は成り立つ。
「」ならばa≧０が成り立つかどうかが問題である。
「」①となるためのaの条件を求める。aの符号で場合分けする。
a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。
a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
以上より、①⇔a≧０
（疑問）
上の解説で、a≧０ならば「」が成り立つことは明らかだが（これはわかります）
「」ならばa≧０が成り立つかどうかが問題と言っています。
上の
a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。
a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
の部分ではa≧０ならば「」が成り立つこと、a<0ならば「」が成り立つことを示しているだけだと思うのですが、なぜ、①⇔a≧０であると言えるのですか？

質問者からの補足コメント

• 

  ①は「」です。
  わかりにくくてすみません
  （）には必要条件である、十分条件である、必要十分条件である、必要条件でも十分条件でもないがはいります。
  １対１対応の演習の数１の問題なのですが、解説を添付します。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/09/08 14:14

No.9 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/12 22:15

質問者様が、すでに納得・理解していればいいのですが・・・。

もし、まだであれば、１つ違う問題を例として取り上げたいと思います。

P　⇒　Q　が真である。
つまり、
『　Ｐが成り立つ　』　ならば　『　必ずＱが成り立つ　』
ですね。
これを、意識してください。
『　必ずＱが成り立つ　』を意識して、『　Ｐが成り立つ　』をおろそかにして、間違えてしまいましたが・・・。


【 問題 】　n を整数とするとき、 n^2 が３の倍数であるならば n は３の倍数であることを証明しなさい。

（解答）　すべての整数 n は、
　　　　n=3k，3k+1，3k+2　(k は整数)　で表すことができる。
(i)　n=3k のとき
　n^2=(3k)^2=9k^2=3･3k^2

(ii)　n=3k+1 のとき
　n^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1

(iii)　n=3k+2 のとき
　n^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1

(i)、(ii)、(iii) より
n^2 が３の倍数であるのは、 (i) の場合のみである。
このとき、 n は n=3k より ３の倍数である。

したがって、 n を整数とするとき、 n^2 が３の倍数であるならば n は３の倍数である。　・・・・・（証明終わり）


対偶を使えば、質問の問題同様すぐに証明できると思いますが、
対偶を使わずに証明すると、上のような証明になるかと思います。

ここで、
『　Ｐが成り立つ　』
ですが、この問題では、
『　n^2 が３の倍数である　』
です。これが成り立つのは、 (i)、 (ii)、 (iii) のうち、
(i) の場合のみです。
(ii) も (iii) も n^2 は、３の倍数より１多い数になります。

表現の仕方がおかしいかもしれませんが、このことから、
n^2 が３の倍数である　⇒　n=3k　は、 真　
n^2 が３の倍数である　⇒　n=3k+1　は、 偽
n^2 が３の倍数である　⇒　n=3k+2　は、 偽
になってしまいます。

なので、これで、
『　n^2 が３の倍数である　』　ならば　『　n は３の倍数である　』
が成り立つことが証明できると思います。


これを、質問の問題に当てはめると、
「任意の正の数ｘについてa+x≧０」ならばa≧０が成り立つ
ですが、
『　Ｐが成り立つ　』は、
『　任意の正の数ｘについてa+x≧０　』
です。
すべての a は、 a<0、a≧0 で表せます。
（ア）　a<0 のとき
a=-0.1 とすると、 x=0.01 のとき　a+x=-0.1+0.01=-0.09<0 となり、　（←　例題の(ii)、(iii)）
a+x≧0　が成り立たない。
（イ）　a≧0 のとき
両辺に x を加えて　a+x≧x
x>0 より　a+x>0
よって、 a+x≧0　が成り立つ。　（←　例題の(i)）

（ア）、（イ） のうち、
『　任意の正の数ｘについてa+x≧０　』
が成り立つのは、 （イ） の場合のみです。

これから、
任意の正の数ｘについてa+x≧０　⇒　a<0　は、 偽
つまり、
a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。
になり、
任意の正の数ｘについてa+x≧０　⇒　a≧0　は、 真
つまり、
a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
ことになると思います。

これより、
「」ならばa≧０が成り立ち、

a≧０ならば「」が成り立つことは明らかだが（これはわかります）
であることと、
「」ならばa≧０
であることから、（←　証明ができたので）
①⇔a≧０である
と言えることがわかります。


上の　例題　が参考になればいいのですが・・・。

No.8 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/09 22:55

お騒がせしました。

さきほど、やっと理解しました。

「任意の正の数ｘについてa+x≧０」　⇒　a≧０
の対偶は
ａ＜０　⇒　「ある正の数ｘについて　ａ＋ｘ＜０」
で、これは明らかに　真　だから、元の命題も　真　である。

真　であることを前提にして考えて、
昨日の　マチガイ　がどこにあるかがわかりました。

反例として、　ａ＝－３、Ｘ＝５　をあげましたが、
この　ａ＝－３　のときとすると、
任意の正の数ｘについて　－３＋ｘ≧０
となり、
ｘの値が
ｘ＝１、ｘ＝０.8、ｘ＝√２、・・・・などのとき
左辺≧０　（－３＋ｘ≧０）
が成立しない　（仮定がまちがっている）
ことがわかりました。
だから、
a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。
になるわけですね。

質問者様には、大変ご迷惑をおかけしました。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/09/09 08:22

AN03の

>「任意の正の数ｘについてa+x≧０」　⇒　a≧０
>この命題は　偽
>反例は　ａ＝－３、Ｘ＝５

ですが、これでは駄目。xは任意なんだから
正の数Xの値をどのように変えてもa+x≧0が成り立つaを示さないとNG。
勿論そういうaは a≧0 の範囲にしかないです。

「任意」と「ある」の双方を知っているのにごちゃ混ぜに
なってますね。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/09/09 08:05

>a≧０ならば「」が成り立つこと、

>a<0ならば「」が成り立つことを示しているだけだと思うのですが

・a≧０ならば「」が成り立つこと、
・a<0ならば「」が成り立たないこと

ですよね。

・A→B
・¬A→¬B (¬は否定を表します。)

の両方が正しいなら A=B なんです。

A→B かつ B→A なら A=B(必要＋分)

と習ったと思いますが、「対偶」は習ったでしょうか?

B→A と ¬A→¬B は同じことを表わしています。これが対偶です。
つまり

aく0 →「」が成り立たない は 「」が成り立つ→a≧0

と同じことなんです。真理表を作ってみれば判ります。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2015/09/09 05:07

> a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。


> a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。

> の部分ではa≧０ならば「」が成り立つこと、a<0ならば「」が成り立つことを示しているだけ

その通りです。
　ただし、（解説）の

> a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。

のところ、「不適」という言い方はさっぱり意味不明の不適切な表現です。絶対にまねしちゃいけません。この部分は、
　　a<0のとき、a+x<0となる正の数ｘが必ず存在する。実際、x=-a/2とすれば良い。
　　だから、「a<0ならば①ではない」が証明できた。
とでも書くべきです。ま、それはさておき；

　これで、
　　a<0⇒「①ではない」
ということが証明できた。従って、その対偶
　　 ①⇒「a<0ではない」
も証明できたわけです。
　で、「a<0ではない」ってのは「a≧0」ってことですから、結局
　　 ①⇒a≧0
が証明できた。

> 　なぜ、①⇔a≧０であると言えるのですか？

「a≧0⇒①」は証明済みである。だから「①⇒a≧0」と「a≧0⇒①」の両方が証明された。これは「①⇔a≧０」が証明できたってことに他なりません。


　ついでに。（解説）にある

> a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。


という部分は全く不要ですね。（その上、「適する」はまるで意味不明の不適切な言葉遣いです。）

　この（解説）は、どうやらアホか酔っぱらいが書いたもののようです。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ところで、この問題には、ご質問とはまた別のところに重要なポイントがあるように思います。すなわち：

　　a≧０ ⇒「任意の正の数ｘについてa+x＞０」
ということは自明でしょ。
　　「任意の正の数ｘについてa+x＞０」⇒ a≧０
ということも自明。つまり、
　　「任意の正の数ｘについてa+x＞０」⇔ a≧０
が言える。（「　」内の不等号に注意。これは①とは違うものです。）

　一方、ご質問の問題から
　　「任意の正の数ｘについてa+x≧０」①　⇔ a≧０
が言える。

　だから、
　　「任意の正の数ｘについてa+x＞０」⇔ 「任意の正の数ｘについてa+x≧０」①
ってことです。証明したんだからこれは正しい。けれど、よく見るとなんかちょっとヘンな感じがしませんか？

　もしaとxが整数だったらこれは正しくない、ってことはお分かりになるでしょ。すなわち、これは、aとxが有理数あるいは実数だからこそ言えることなんです。
　整数じゃだめで有理数や実数ならOKになる理由は、上の方にある「実際、x=-a/2とすれば良い」ってところ。つまり、有理数や実数では「0に最も近い正の数」というものはなくて、0に幾らでも近い正の数が存在する。だからOKなんです。

　ですから、問題文に「a, xは実数とする」のように明記してなくちゃ、フェアとは言えません。
　逆に、それが書いてさえあれば、この問題はなかなかの良問だったのに、と思います。（「論理」の練習問題として適切かどうかはちょっと疑問かなと思いましたが、いや、珍答も現れるってことは、それなりに適切なんでしょう。）

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/08 23:50

数学における「任意」という言葉の意味を確認すべし＞#3.

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/08 15:20

「」ならばa≧０が成り立つかどうかが問題である。

「」①となるためのaの条件を求める。aの符号で場合分けする。
★a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。
☆a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
　
★印ですが、　Ｎｏ．２の方も書かれてた　対偶　だとすれば、
「任意の正の数ｘについてa+x≧０」　⇒　a≧０
の対偶は
a<0のとき、ある正の数ｘに対して、a+x<0
であるから、この命題は正しいことになり、　『不適』　はおかしいです。
☆印ですが、
a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
は、
十分条件であるかどうかを調べる命題
a≧０　⇒　「任意の正の数ｘについてa+x≧０」
に用いることであって、
必要条件であるかどうかを調べる命題
「任意の正の数ｘについてa+x≧０」　⇒　a≧０
の証明に用いることではない
と思います。

①⇔a≧０である　という説明はまちがいだと思います。



(問題）
a≧０であることは、「任意の正の数ｘについてa+x≧０」であるための（　　　）

十分条件であるかどうかを調べる命題
a≧０　⇒　「任意の正の数ｘについてa+x≧０」
この命題の真偽を調べるのが、
《　a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。　》
になると思います。
つまり、
a≧０のとき、両辺に　ｘ　を加えて　ａ＋ｘ＞ｘ　・・・・・ (A)
ｘ　は正の数だから　ｘ＞０ ・・・・・ (B)
(A)、 (B) より
ａ＋ｘ＞０
この命題は　真

次に、必要条件であるかどうかを調べる命題
「任意の正の数ｘについてa+x≧０」　⇒　a≧０
この命題は　偽
反例は　ａ＝－３、Ｘ＝５
　　　　正の数　Ｘ＝５　について、ａ＝－３　のとき　　ａ＋ｘ＝－３＋５＝２≧０　であるが　ａ＞０　ではない。

だから、　答えは　十分条件　になると思います。

解答は、　必要十分条件になっているのですか？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/09/08 14:16

とりあえず最後の部分

a≧０ならば「」が成り立つこと、a<0ならば「」が成り立つことを示している
は変だね.

そして対偶.

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/08 13:53

a≧０ならば、「」は成り立つ。

「」ならばa≧０が成り立つかどうかが問題である。
「」①となるためのaの条件を求める。aの符号で場合分けする。
a<0のとき、小さな正の数ｘに対して、a+x<0となり、不適。
a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
以上より、①⇔a≧０

①はどんな条件なのですか？
①の条件がわからないと回答が書けません。
①が「」であれば、　①⇔a≧０　はおかしいと思います。

この問題は、　（　　　　）の中に当てはまるのが、何条件かを求める問題だと思うのですが・・・。
（　　）に入るのは、
十分条件　もしくは　十分条件であるが必要条件ではない
だと思うのですが、解答は何と書いているのですか？

「」ならばa≧０　の反例が
a<0のとき　（a=-1, x=2 など）
です。
a≧０のとき、ｘ＞０ならばa+x>0となり適する。
の意味がわかりかねます。必要ないと思います。