(問題)
3人の女子と12人の男子が無作為に円卓に座る。
(1)3人の女子が連続して座る確率を求めよ。
(2)少なくとも2人の女子が連続して座る確率を求めよ。
(自分の解答)
席を時計回りに1~15とする。
(1)15人の座り方は15!とおりである。
このうち、3人の女子が連続する座り方は{1,2,3},,,{15,1,2}と15通りであり、それぞれに対して女子の座り方が3!とおり、男子の座り方が12!とおりで、
3/91(正解)
(2)女子がばらばらに座る場合はまず男子を座らせて、その間(12こ)に女子を座らせればよいから、
12!×12×11×10とおり。1-(12!×12×11×10/15!)
よって、求める確率は47/91(誤り)
(2)でなぜ間違えたのかがよくわかりません。
(補題)男子5人女子3人が並ぶとき、女子が隣り合わない方法は何通りか?
という問題では男子を先に並べてから女子を間に入れると考えるので、それに倣ったのですが。
どなたかどこがいけないのか教えてください。お願いします。
No.1
- 回答日時:
【 円順列 】 の問題ですが・・・、
基本的には、
《 一人を固定して、残りの人を順に並べていきます。 》
この場合、分母は、
1人を固定して、残りの 14人 を並べる場合の数 14! (通り) になります。
(1)では、
分子は、
3人の女子が連続して座るので、3人の女子を1人とみなします。
この、1人とみなした女子を固定して、残りの男子12人を並べると 12! (通り),
1人とみなした3人の女子の並べ方が、3! (通り)
だから、確率は、
(12!×3!)/14!=3/91
になります。
(2)では、
男子1人を固定して、残りの男子11人を順に並べるので、 11! (通り)、
3人の女子を、並べた男子の間に1人ずつ並べればよいから、 ₁₂P₃ (通り)、
だから、分子は、
11!×₁₂P₃ (通り)
になります。
これから、求める確率は、
1-{(11!×₁₂P₃ )/14!}=1-55/91=46/91
になるのではないでしょうか。
No.2
- 回答日時:
添付写真の図ですが、
15人だと、数が多いから、6人で・・・、
A,B,C,B.E,F の6人の座っている場所は異なりますが、
すべて、
Aの右は B、
Bの右は C、
Cの右は D、
Dの右は E、
Eの右は F、
Fの右は A
になっています。
なので、これらは
《 同じ並び方 》 になります。
このように、1つずつずれた座り方は、 《 同じもの 》 として考えます。
No.3
- 回答日時:
No.1 の訂正です。
1-{(11!×₁₂P₃ )/14!}=1-55/91=46/91
↓↓↓
1-{(11!×₁₂P₃ )/14!}=1-55/91=36/91 ( ⇦ 46/91 ではなく 36/91 です。 )
No.4
- 回答日時:
>(補題)男子5人女子3人が並ぶとき、女子が隣り合わない方法は何通りか?という問題では男子を先に並べてから女子を間に入れると考えるので、それに倣ったのですが。
この補題は、男子5人を横1列に並べてその間の6か所に女子を入れるという方法です。
男子12人の場合、横1列に並べるとその間は13か所です。
円卓ではその間は12か所ですから、それが補題と違う点です。
12か所とするためには、例えば、先頭の男子の左側には女子は入れないというような条件が必要です。
その条件で15人を並べたときの並べ方の数は、
先頭は男子で残りは14人の順列なので、
12×14!
したがって問題の答えは、
1-(12!×12×11×10/(12×14!))=36/91
となります。
補題を参考にするのはいいですが、補題との違いも式に反映させる必要があります。
No.5
- 回答日時:
No.4の続き
分母を15!とする場合について
男子12人を横1列に並べるとその間は13か所。
その間に女子が座る場合の数は、
13×12×11
その内、両端に女子が座る場合の数は、
3!×11
なので、
1-(12!×(13×12×11-3!×11)/15!)=36/91
No.6
- 回答日時:
1-{(15×11!×₁₂P₃ )/15!}とすると正解になりますが、12人の男子を座らせてからその間に女子を座らせるというより、円順列のように、「席次はいったん無視して」、1人の男子の相対的位置関係を考えて11!×₁₂P₃ 、1から15の席にその注目した男子が座る方法を考えているというかんじでしょうか。
↑↑↑
この考え方だと、
分母を 15!(通り)にする意味がなくなってしまいますよ。
ちなみに、その本の解答例はどんな式ですか?
明らかに、円順列で考えるのが一番良い方法だと思うのですが、
どうしても、分母を 15!(通り)で考えるのであれば、
分子は
(1) 1番目に男子がくる場合
(2) 1番目に女子がくる場合
の2つの場合に分けて考えればよいのでは?
(1)の場合
12!×₁₂P₃ (通り) ( ⇦ 誤答となった式(余事象の分子の式))
(2)の場合
3×12!×₁₁P₂ (通り)
になります。
これより、求める確率は、
1-{(12!×₁₂P₃ +3×12!×₁₁P₂) /15!}
=1-{(12!×12×11×10+3×12!×11×10) /15!}
=1-[{12!×11×10×(12+3)} /15!]
=1-{(12!×11×10×15) /15!}
=1-{(11×10) / (14×13)}
=1-(55/91)
=36/91
になります。
分子の考え方ですが、
(1)の場合は、質問にある考え方です。 (添付写真の上の図)
(2)の場合は、
1番目にくる女子の並べ方が、3人の中から1人とって並べればよいから 3通り、
次に、12人の男子を順に並べればよいから 12!(通り)、
残った2人の女子を並んだ男子の間に並べればよいから ₁₁P₂ (通り)
になります。
このとき、1番目の男子と12番目の男子の間には、もうすでに女子が1人いることに注意してください。
なので、2人の女子を男子の間に並べるとき、男子の間は11か所になります。 (添付写真の下の図)
No.7
- 回答日時:
>このうち適する席の組み合わせは15×12通りあり(1つの席に対しその両隣はダメという方法で出した)
その方法は、男子を先に座らせてその間(12こ)に女子を座らせるという方法とは、別の方法です。
2人の女子が連続する座り方は{1,2},{2,3},,,{15,1}の15通り
もう1人の女子の座り方は、例えば女子2人が{1,2}の場合、3,4,,,14の12通り(15の席はダメ)
これで、少なくとも2人の女子が連続して座る席の組み合わせの数(15×12)を求めています。
余談ですが、男子を座らせてその間に女子を座らせるという方法では、
1-(₁₂C₃/₁₂H₃)
という計算方法もあります。
No.8ベストアンサー
- 回答日時:
このうち適する席の組み合わせは15×12通りあり(1つの席に対しその両隣はダメという方法で出した)、
その1通りに対して各場所への女子と男子の入り方は3!×12!通りあるから、
15×12×3!×12!/15!
↓↓↓
女子3人の席の選び方が、
1人目の女子は、 添付写真の1~15の15通り
残り2人の女子の席の選び方は、
例えば、番号1に座ったとして、
(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(2,7)、(2,8)、(2,9)、(2,10)、(2,11)、(2,12)、(2,13)、(2,14)
の12通り
【 (2,15) は、席を1つ分、右にずらすと、(2,3) の席に座るのと同じ座り方になる。 】
残った席は、男子が座ればよいから、
適する席の組み合わせは15×12通り
だから、
少なくとも2人の女子が連続して座る座り方は
15×12×3!×12! (通り)
このような考え方ではないでしょうか?
この方法でも、 『 15 』 を掛けなければ、
1人を固定して考える方法
分母が 14! の
12×3!×12!/14!
でもいいと思いますが・・・。
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自分が読んでいる参考書は「はっと目覚める確率」という本なのですが、この本では確率と場合の数の違いがたびたび強調されており、この問題についても確率では円卓であっても15席は区別すべきとして、全事象に15!をとっています。
「(2)では、
男子1人を固定して、残りの男子11人を順に並べるので、 11! (通り)、
3人の女子を、並べた男子の間に1人ずつ並べればよいから、 ₁₂P₃ (通り)、
だから、分子は、
11!×₁₂P₃ (通り)
になります。
これから、求める確率は、
1-{(11!×₁₂P₃ )/14!}=1-55/91=46/91
になるのではないでしょうか。」とのことですが、
私の方法と同じような考え(補題同様に、隣り合ってはいけないものは間に入れる)という考えで「円順列の場合は」解けるというのはわかりました。
(続く)
というのも、円順列の場合、男子1人から見たらどういう並びか?という相対性のみで考えるので、席次はどうでもよいので、(1,2,3,4、、15どれにつこうと男子の1人から見て同じ並びならば同一視する)間に入れても問題ないのだろうと思いました。
ところが、私の答案では席次を考慮すべきなのにもかかわらず、間に入れてしまっては席次がずれてしまいうまく数えることができないと思いました。
1-{(15×11!×₁₂P₃ )/15!}とすると正解になりますが、12人の男子を座らせてからその間に女子を座らせるというより、円順列のように、「席次はいったん無視して」、1人の男子の相対的位置関係を考えて11!×₁₂P₃ 、1から15の席にその注目した男子が座る方法を考えているというかんじでしょうか。
(続く)
どなたか私の自分の解答の検証で誤っている部分があれば教えて下さい。お願いします。
その参考書の解答は(2)では余事象を使わずにそのまま直接求めているので、参考にならないかもしれませんが、
15人の席の選び方は15!通りある。
このうち適する席の組み合わせは15×12通りあり(1つの席に対しその両隣はダメという方法で出した)、その1通りに対して各場所への女子と男子の入り方は3!×12!通りあるから、
15×12×3!×12!/15!。
少し自分でも考えたいと思います。それでもよくわからなければ教えて下さい。