文字式について

文字式について分からないことがあるので質問します。

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つぎの命題の逆、裏を述べ、その真偽を調べよ。
a+c≦b+dならば、a≦bまたはc≦dである。

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逆:a≦bまたはc≦dならば、a+c≦b+dである。
裏:a+c＞b+dならば、a＞bかつc＞dである。
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私はa=1,b=2,c=6,d=4を反例として挙げ、逆、裏ともに偽としたのですが、
解説には「逆、裏ともに偽。反例はa=b=c=0, d=-1」とありました。

文字に数を代入する場合、同じ文字には同じ数、異なる文字には異なる数を代
入するのではないのですか。

お願いします。

質問者からの補足コメント

• お答えいただいてありがとうございます。
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  この命題の逆の真偽について調べるとき、=の場合についても考えないと調べ尽くした事に
  ならないのは分かります。ですが、裏についてはどうでしょうか。
  
  単に『「a+c＞b+dならば、a＞bかつc＞dである」の真偽を調べよ』という問題であっても
  偽となる反例をa=b=c=0, d=-1とするのは有効ですか。
  
  私は異なる文字には異なる数を代入しなければならないと考えていて、今回のa=b=c=n(n
  はその時々の問題に適う数)のような反例に出会すと、ひどい違和感を覚えるのです。

    補足日時：2015/10/09 08:07

No.3 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/09 12:26

単に『「a+c＞b+dならば、a＞bかつc＞dである」の真偽を調べよ』という問題であっても

偽となる反例をa=b=c=0, d=-1とするのは有効ですか。

　　　↓↓↓

有効です。
『　a+c＞b+d　』　が成り立つが、　『　a＞bかつc＞d　』　が成り立たない数であればよいので。


ちなみに、次のような展開公式があると思うのですが、

(ａｘ＋ｂｙ)(ｃｘ＋ｄｙ)＝ａｃｘ²＋(ａｄ＋ｂｃ)ｘｙ+ｂｄｙ²

これを使った問題で、
(２ｘ+3ｙ)(２ｘ-7ｙ)＝4ｘ²＋(－１４＋６)ｘ－２１ｙ²＝4ｘ²－８ｘ－２１ｙ²
のように、
ａ＝ｃ＝２　と、　『　ａ　』　と　『　ｃ　』　が等しい問題（式）や、

２次関数の、
ｙ＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ
で、
ｙ＝－ｘ²－ｘ－２
のように、
ａ＝ｂ＝－１　と、　『　ａ　』　と　『　ｂ　』　が等しい問題（式）

なども　《　違和感　》　があるのでしょうか？


【　つぎの命題の逆、裏を述べ、その真偽を調べよ。
　　　a+c≦b+dならば、a≦bまたはc≦dである。　】
は、
　　　《　４個　》　の数を使って証明をする
ということです。

この　《　４個　》　の数の関係が、

『　ａ＜ｂ　』　であれば、　『　ｂ　は　ａ　より大きい数　』
でなけらばならないし、
『　ａ＝ｂ　』　であれば、　『　ａ　と　ｂ　は等しい数　』
でなければならないし、
『　ａ≦ｂ　』　であれば、　『　ｂ　は　ａ　より大きい数　』　または　『　ａ　と　ｂ　は等しい数　』
でなけらばならないので、

『　ａ≦ｂ　』　は、　『　ａ＝ｂ　』　でもよいことになります。

この回答へのお礼

とても良く分かりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/09 23:08

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/09 18:02

「異なる文字には異なる数を代入しなければならないと考えてい」るのはあなたの勝手. 数学にそんなルールはない (覆面算でなければ).

No.2 回答者： kmee 回答日時： 2015/10/09 07:12

> 同じ文字には同じ数

は正しいですが

> 異なる文字には異なる数

とは限りません。

もし「異なる文字には異なる数」だとしたら、
a≦b
等と「=を含む不等式」を書く意味がなくなります。


また、反例は一つとは限りません。
そのうち一つでも挙げることができれば、その命題は偽だと言えます。
> 解説には「逆、裏ともに偽。反例はa=b=c=0, d=-1」
とあっても、これは反例の一つであり
> a=1,b=2,c=6,d=4を反例として挙げ、逆、裏ともに偽
でも正解です。

No.1 回答者： soixante 回答日時： 2015/10/09 07:05

a≠b などの定義がないなら、あり得るでしょう。

実際、問題文に、
a≦bまたはc≦dである。
a=b の可能性を排除していません。