「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

非保存力の働く場合のラグランジュ方程式に出てくる一般化力って何ですか?

イメージの湧きやすいようにお願いします。

A 回答 (2件)

>解析力学でもハミルトンの原理までは意味が分かったんですが、ラグランジュ方程式の意味が分からないんです。



もう既にお気づきかもしれませんが、#1のURLの親元URLから「変分原理とEuler-Lagrangeの方程式」の項を見てください。おそらくご質問の答えが見つかると思います。

参考URL:http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/C-Mechanics …
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この回答へのお礼

何かたぶん分かりました。(日本語めちゃくちゃですいません)
ありがとうございました。

お礼日時:2004/07/03 01:54

>非保存力の働く場合のラグランジュ方程式に出てくる一般化力って何ですか?


それは摩擦力や質点の速度に比例した抵抗のようなポテンシャルから導かれない力のことです。

>イメージの湧きやすいようにお願いします。
イメージが湧くかどうかは??ですが、、、ラグランジアンLは普通L=T-Vで定義しますね。ポテンシャルVから保存力が導かれます。系に保存力と非保存力が作用している場合のラグランジュの方程式は
  d/dt(∂L/∂q')-(∂L/∂q)=Q,L=T-V
となって、保存力はVの項に、非保存力はQの項に顔をだすことになります。この辺の事情は下記URLが参考になると思いますが、ザックリとアウトラインだけを見てみましょう。
ラグランジュの方程式
  d/dt(∂T/∂q')-(∂T/∂q)=Q  (1)
1)力がポテンシャルから導かれる場合
  Q=-∂V/∂q  (2)
となるので(1)に代入し整理すると
  d/dt(∂L/∂q')-(∂L/∂q)=0  (3)
ただし、L=T-V。これは普通見かけるラグランジュの方程式。
2)力がポテンシャルから導かれない場合、一般化力は(1)の左辺に上手く取り込めないから、ラグランジュの方程式は(1)の形となる。

参考URL:http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/KasouGenri. …

この回答への補足

うーん。質問の仕方が悪かったみたいです。
僕がききたかったのは「ラグランジュ方程式がどういう物でどうやって導かれるかは分かったけど、結局何を示してるの?」ということなんです。

例えばニュートンの運動方程式とかマクスウェル方程式なんかは何が起こっているのかが分かる方程式ですよね。
解析力学でもハミルトンの原理までは意味が分かったんですが、ラグランジュ方程式の意味が分からないんです。

補足日時:2004/07/01 23:18
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
参考URLに上がったサイトの存在は知らなかったです。

お礼日時:2004/07/01 23:18

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Qラグランジュ方程式における一般化力

ラグランジュ方程式において一般化力に摩擦力は入りますか?
以前一般化力になると見たことがあるのですが.
粘性摩擦は消費エネルギーになりますよね.同じ摩擦力なのにどうして違うのですか?

また,一般化座標が何個かあるときそれぞれに対応する一般化力とはどのように決めるのですか?

Aベストアンサー

>一般化力とはどのように決めるのですか
力Fが、仕事をした時、エネルギーの変化dwは、
   dw=F・dr       ただし F・dr は、ベクトルの内積
     =Fxdx1+Fydx2+Fzdx3
dx iを表すには、全微分で書けばよい。
   dx i = ∂x i/∂q1 dq1 + ∂x i/∂q2 dq2 + ∂x i/∂q3 dq3
      =Σ[j=1to3] ∂x i/∂q j dq j
あとの計算は、以下を見て下さい。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/61332033.html

>粘性摩擦は消費エネルギーになります.同じ摩擦力なのにどうして違うのですか?
上を見ればわかるように、一般化力は「エネルギーの変化」で
定義されるので、同じです。
式を変形して「、、となる」というのと、物理量が変化して「、、となる」
を混同しないように。

Q保存力のときの一般化力について

解析力学で一般化座標系での力(一般化力)を学んだのですが,『デカルト座標系での外力Fが保存力のとき,Fi=-dU/dxi というポテンシャルエネルギーU が定義でき,それを使うと一般化力も同じ形 (Gj=-dU/qj) になる』という部分が分からなくて困っています.
教科書では Fi=-dU/dxi を一般化力の定義式 Gj=ΣFi(dxi/dqj) に代入すると導かれるとなっているのですが,シグマで和を取ると座標系の数Nを掛けて Gj=N x (-dU/dqj) になるのではないかと思えます.きっと単純な思い違いをしているのだと思いますが,どなたかご教示していただけないでしょうか.よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

>シグマで和を取ると座標系の数Nを掛けて Gj=N x (-dU/dqj) になるのではないかと思えます.

決して、そのようにはなりません。もう一度、多変数の合成関数の微分の公式を復習して下さい。一般的に、
z=z(x,y)が全微分可能でx=x(u,v),y=y(u,v)が偏微分可能であれば、
∂z/∂u=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u)
∂z/∂v=(∂z/∂x)(∂x/∂v)+(∂z/∂y)(∂y/∂v)
が成り立ちます。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q回転運動の運動エネルギーについて困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

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問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
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[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが,その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは,

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで,

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません.

回転の運動エネルギーは
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どなたか助けてください.お願いします.

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

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という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回...続きを読む

Aベストアンサー

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q物理を勉強するための複素関数論

現在物理学科の2年生です。
複素関数論の授業が始まるのですが教科書の指定はありません。
物理をするうえで必要な複素関数論の勉強をするうえで適している参考書について知りたいです。
数学科の人だけが使うようなものすごく深い内容のものでなくてもかまいません。
量子力学、流体力学などを学ぶ上で必要なレベルの本が知りたいです。
現在、
神保道夫さんの複素関数入門を持っていますが苦戦してます・・・
この本は数学科の人用に作られていると聞きました。
物理を学ぶ学生はこの位の本をやっておくべきでしょうか?
またこの本以外でおすすめの参考書があれば教えてください。

Aベストアンサー

添付URLを見てください。
物理屋さんが書いた複素関数入門です。

写像などの数学的なことは最小限で物理科の自分にはとてもあっていました。

この本は複素数は2次元ベクトルで、複素関数は2次元のベクトル解析だ
という考え方で進みます。
当然ながら流体力学への応用も入っていてお得です。

参考URL:http://www.amazon.co.jp/複素解析と流体力学-今井-功/dp/4535606013

Qラグランジュの未定乗数法

参考書を読んでいると、よくラグランジュの未定乗数法が出てきますが
その未定乗数法で、適当な定数としてλ(ラムダ)をかけて計算していますが
このλの意味は何でしょうか
これを説明している本が見つからなくって・・・

Aベストアンサー

> ずれを補正するためにあるってことでしょうか

λはずれの補正ではありません.
こういうことを書かれているところを見ますと,
大変失礼ですがラグランジュの未定乗数法の理解が不十分なように思われます.

ラグランジュ未定乗数法は,
関数の拘束条件付き極値や拘束条件付き変分法などのときに用いられます.
拘束条件が付いていると面倒なので,
拘束条件をなくしてしまえというのがこの方法の精神です.
ただし,何も代償を払わないで拘束条件がなくなるなんてうまい話は
普通はありません.
ラグランジュ未定乗数法では,拘束条件を1つなくす代わりに,
独立変数が1個増えます.
その増えた変数がλです.

問題を解いた後に,λは自然に定まります.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
で,stomachman さんが一般論を,私が易しい例題を回答していますので,
まずはそちらをご覧下さい.
私の例題の(1)(3)(4)から極値の時のx,y,λが定まります.

Q物理量に対数をとると無次元量になる理由

実験結果などを解析する際に、絶対温度T[K]や時間t[sec.]などに自然対数をとることがあります。
例えば、ln Tやln tとしますが、これらの単位はありません(無次元)。以前から気になっていたのですが、なぜ対数をとると無次元量になるのでしょうか?
ご存知の方、教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

単位のついている量の対数はとれません。
ln (1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+・・・
という公式からわかるよう、xに単位がついているとすると
右辺は意味を持たなくなります。(次元の異なる量を
足し合わせることは無意味。)

もしln Tやln tという記述が本当にあるならば、それは
ln(T[K]/1[K])やln(t[sec]/1[sec])というように
単位量で割った値の対数をとっていると理解すべきと思います。
すなわち、もとから無次元量の対数をとっているのです。

Qエクセルギーが分かりません

 今エクセルギーを勉強しているのですが いまいち理解が出来ません。エクセルギーとは「ある系が周囲温度と平衡に達するまでに、他の系に与える最大仕事のこと」だとは分かりました。
 このエクセルギーの計算ですが、調べたHPで系の温度と周囲温度の値による熱エクセルギー比の変化というものがありました。
 この式は熱エクセルギーξが
ξ=E/Q=m(h-h0){1-T0/(T-T0)lnT/T0}...(1)
  で求めていました。この式は
熱効率ηmax=1-T0/T
 と指すものが同じだと思うのですが値を代入してみると(1)とは違った値が出てきます。これは何故でしょうか?何故エクセルギはW=η×Qと明確に区別するのでしょうか?どなたか分かりやすく教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

<<3補足
はい。そのとおりです。

なお、♯3の訂正です。

カルノーサイクルでは、熱源の温度は十分大きいとしていて×→熱源の大きさは十分大きいとしていて


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