小学生の問題。掛け算の順番について

Question

２年前に同じ質問をしています。予想に反して，かなりご意見がエキサイトしてしまいました。

ちょい頭を冷やすのもありますけど，２年経てば回答者も変わる事と思いまして再度質問。多少質問の仕方も変えています。

４人の子どもに５個ずつリンゴをあげる。全部で何個リンゴは必要？？？
４×５＝２０
５×４＝２０

前回間違ってどちらが正しいとか言ったので，今回は書きません。

どちらの式が小学生的に正しいのか？どちらかは×にされます。

これが，さっぱりわかりません。


すっきりとした回答ないですか？？？
（２年前に同じ質問見た方ゴメンナサイ）

lupan344 · Accepted Answer

お礼ありがとうございます。
よく議論されている、順序の問題に関しては、数学で変数を扱う場合の表記は、欧米式になると言う事です。
変数aの5倍は、5aであって、a5とは書かないと言う事です。（a5の場合は、5は序数と考えられるので不都合だと言う事です）
物理学などでは、Ｆ＝maなどと記載しますが、これも本来はaが変数だから、maなはずです。（どちらが変数かというと難しいですが、普通は重さが固定されていて、それに力（加速度）を与えると考えるのが妥当でしょう）
結局の所、被乗数×乗数、乗数×被乗数は、表記のルールでしかありません。
日本式ならば、a×5＝a＋a＋a＋a+aと解釈しますが、欧米ならば、5×a＝a＋a＋a＋a＋aと解釈されるだけです。
ただ、このように表記のルールで正解・不正解を決めるのは、欧米も一緒だと言う事です。
欧米は、日本とは逆の表記で無いと不正解になります。
数学の変数の取り扱いと整合性を取るには、欧米式の方が適している事は確かです。
ただ、言語構造を考えると、言語に適した表記の方が理解しやすいという考えもあるので、なかなか難しい面はあります。

hakobulu · Answer

＃１３です。

＃１４さんのご回答を非常に興味深く拝見しました。
わたしの感覚としては、【４×５＝２０】のほうがわかり易いと感じていたのですが、専門の立場からすると、どうも逆だったようですね。
「掛ける」の意味を甘く考えていたのかもしれません。
「掛け算」を辞書で引いてみると【ある数を他の数の表す回数だけ加えた合計を求める計算】という語釈でした。
http://dictionary.goo.ne.jp/jn/39550/meaning/m1u/%E6%8E%9B%E3%81%91%E7%AE%97/
そうすると、「４人の子どもに５個ずつリンゴをあげる。全部で何個リンゴは必要？？？」は、

ある数（＝５というりんごの数）を他の数（＝４という子どもの数）の表わす回数だけ加えた合計を求めよ。

という意味に捉えるのが適切ということ・・・になりますか。
これが、

ある数（＝４という子どもの数）を他の数（＝５というりんごの数）の表わす回数だけ加えた合計を求めよ。

のように考えるのは無理がありますね、たしかに。
りんご５個を４回加える（４人に配る）のは自然ですが、「４人の子どもを５回加える」というのでは、「掛け算」の意味としては通用しても日本語の意味としては整合性が取れているとは言えないですから。
では、
「ある数（＝５というりんごの数）を他の数（＝４という子どもの数）の表わす回数だけ加える」を数式にするにはどう表現すべきか。
これは、「加える」という動作の対象（目的語）である「ある数＝５」が先に表記されるほうが自然。

「５を加えること４回」⇒５×４

ということになりますか。
あれこれ考えましたが、結局は、＃１４さんおっしゃるところの

すなわち、5個×4回加え続ける　= 5×4

これが本質ということだったわけですね・・・。
非常に勉強になりました。
＃１４さんも、質問者さんも、他の回答者の方々もありがとうございます。

ORUKA1951 · Answer

これは、何度か答えていますが、ふたつの大きな理由があります。
・児童に色々なレベルの子供がいる。
　　算数障害の児童から数学的才能がある児童まで・・
・教師にも色々な教師がいる。
　　数学・算数を苦手とする人、得意な人

算数という科目についても教える教師にも児童にも才能には大きな差があります。そこで、双方のために統一しておかないとなない。

そこで掛け算については、次のように指導します。
４人の子どもに５個ずつリンゴをあげる。全部で何個リンゴは必要？？？
1. 5個ずつ並べていきます。
　●●●●●　　●●●●●　・・・・
2. 左から数えていくと・・
　5 + 5 + 5 + 5 = 20
3. 同じ数を繰り返して加える
　5 + 5 + 5 + 5 = 20
　←――4回―→ 
　すなわち、5個×4回加え続ける　= 5×4
※ 計算の順番をかえてはならない
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　5(個) × 4(無次元) = 20(個)
割り算
　20個を 4グループに分ける
　←―――4組―――→
　●　　●　　●　　●
　●　　●　　●　　●
　●　　●　　●　　●
　●　　●　　●　　●
　●　　●　　●　　●
　20 ÷ 4 = 5
※ 計算の順番をかえてはならない
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 20(個) ÷ 4(無次元) ≠ 4 ÷ 20
引き算
　20個から5個取除く
　●●●●●●●●●●●●●●●○○○○○
　20 - 5 = 15
※ 計算の順番をかえてはならない
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 20(個) - 5(個) ≠ 5 - 20
★小さい数から大きい数は引けない!!

これは、数学だろうが物理だろうが、特に物理は次元という概念が入りますから、常に次元を頭に入れておく事になる。エネルギーと仕事は次元が違うとかね。

一方、数学--中学で呼び名が変わる--伊達じゃない--
5 × 4 = 4 × 5
20 × (1/5) = (1/5) × 20
20 + (-5) = (-5) + 20
【計算】が自由に扱えるようになります。たとえそれが未知数であっても!!
そのためには、数学の最初に数の拡張を学びます。
掛け算はふたつの数をかけ合わせる事　掛け算の再定義
引き算は負の数を加える事に等しい　負の数の導入
割り算は逆数をかける事に等しい　　逆数(分数の定義)

未知数を含めて、数が[交換][分配][結合]で自由に扱えるようになるためには、数の拡張という大きなステップを通過しなければならないのです。

それまでは、「計算の順番には意味が重要」「計算の順番は変えれない」と定めておいた方が、指導するほうも学ぶほうも楽なのです。だって次元の概念も含めて、別の意味でとっても大事な事なのですから。
　技術として--道具としての数学とは別の世界も大事なのです。

hakobulu · Answer

「４人の子どもに５個ずつリンゴをあげる。全部で何個リンゴは必要？？？」
考え方は２つあると思います。

・問題文中の登場順に考える⇒「４人の子どもに、りんごを５個づつあげる」⇒【４×５＝２０】

・問題の骨子は「何個リンゴは必要？？？」なので「りんご」に焦点を当てて考える⇒「りんごを一人５個づつ、４人の子どもにあげる。」⇒【５×４＝２０】

どちらでもいいんじゃないですか。
どちらかの考え方が間違い、ということはあり得ないでしょう。
「どちらかは×にされます」とのことですが、そのように規定した人がおかしいと思います。

tknakamuri · Answer

＞指導要領さえ理解できない教員と言うことですね

教科書の出版社が発行している教科書の「指導書」というものがあって、
教師はそれに従っているだけなんですよね。
＃国や学校関係者が決めているわけではない・・・
あくまで「参考」なので、無批判に受け入れるのはどうかと思うのですが・・・

昔、学習指導要領の「原案」に掛け算の順序の記述があって（結局指導要領には載らなかった）、
それが出版社に渡ったのが。指導書に載るようになったきっかけらしいのですが、
詳細は知りません。

怖いのは、この指導書というものが、高額で、学校関係者以外への販売が
自粛されているので、実質的に教育現場で児童に対して行われている
教育内容が非公開になっていることなんですよね。

公開すると宿題の答えがわかってしまうとかの理由で売られていないのですが、
教育内容が世間からの批判にさらされずに配られているのは問題でしょう。
児童には見せないことを前提にもっとオープンにすべきだと思います。

そうすれば、ここでももっとましな議論ができると思います。

tknakamuri · Answer

数学的には掛け算の左右の使い方などはないので、
あくまで習慣だと思います。

5x4を5の4倍と読むなら、4x5=4人の5倍は20人なので具合が悪い。
海外のように5倍の4と読むなら、4x5と書かないと具合がわるそう。

小学校ではこれだけでゆこうという方針なのでしょう。

一方、重要な教 に係数等の固定値を掛ける場合

体重 x kg当たりの基礎代謝量(kcal/kg)

の順が普通。

数量 x 単価

もおそらく同類で、重要な(主要な)ものを左に書くことが多い。
見積や精算書はたいていこの順です。

これは小学校の順と逆。社会人が触れる掛け算は
こっちの方が多いように思います。

lupan344 · Answer

現在は、5×4が正解のようですが、国際化による教育改革が進んでいます。
周知のとおり、欧米では、4×5が正解になります。
はたして、算数が国際化されるかどうかはわかりませんが、国際的に通用する式の書き方ならば、日本ローカルの5×4は不正解になってしまいます。
初等教育では、あまり国際化はされないかもしれません。
しかし、真の国際化を考えたら、どちらでも良いと考えるのが普通です。
日本語では、5の4倍→5×4、英語では　Four times five→4×5です。
つまり、順番は言語で決まるだけで、同じ問題でも言語が違えば、式が変ってしまうわけです。
あくまで、文章題だから、式の順番が決まるだけで、演算では関係ないわけです。
九九を習った時に、この事はわかっているわけです。（5×4＝20も4×5＝20もきちんと覚えている子はわかっています）
すでに、積の交換法則はわかっているわけですから、これが間違いと言われたら、子供は混乱するでしょう。
国際的にこの順番が統一されていないのは、かけ算だけです。
割り算は、順番を変えたら意味が変ってしまうし、答えが違ってしまいます。
割り算の教育の為に、かけ算の順番が重要と言う意見もありますが、欧米は逆でも理解出来ているわけです。（言語構造が違いますから、理解の仕方が違うと言えばそうですけどね）
個人的には、どちらでも良いが正解のような気がします。
このような質問が出ると言う事は、積の交換法則が成り立つのに、一方の順番を強制するからですから、どちらでも良いと考えても良いと思います。

oo14 · Answer

足し算にしたらわかりやすいのでは？
５+５+5+５＝
か
4+4+4+4+4＝
か
もうわかりましたね。
2択問題なら、どちらが×にされるか
どちらが正しいかどうかは先の回答者様の
言うとおりだと思います。
これは単なる2択問題でその理由があればよい
ということでよろしいのでは。
制限時間がある場合、悩んでいる時間が無駄。
正解は所詮1/2＝平均５０点はゲットです。
これってとても大きなことです。
なかなか５０点は取れませんから。

OnneName · Answer

>どちらかは×にされます。
×にした教員の頭がおかしいだけですから本人に聞いて納得の行くような説明を求めるしか有りません。

指導要領では乗法が出てくる２学年で
「3　内容の取扱い
（4）　内容の「A数と計算」の（3）のイについては，乗数が1ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする。」
としていますから指導要領さえ理解できない教員と言うことですね。

Nisson · Answer

算数だと、４人に５個ずつですから、４ｘ５になります。

数学になると、５個を４人に、と考えて５ｘ４としてもいいです。

小学生の問題。掛け算の順番について

お礼ありがとうございます。

＃１３です。

これは、何度か答えていますが、ふたつの大きな理由があります。

「４人の子どもに５個ずつリンゴをあげる。

＞指導要領さえ理解できない教員と言うことですね

数学的には掛け算の左右の使い方などはないので、

現在は、5×4が正解のようですが、国際化による教育改革が進んでいます。

足し算にしたらわかりやすいのでは？

>どちらかは×にされます。

算数だと、４人に５個ずつですから、４ｘ５になります。

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