物体の単振動について

バネ定数kのばねの先端に質量mの物体をつけ、ばねの他端を天井に固定し、ばねが自然長となるように物体を手で支える。
このとき床から物体までの距離は3mg/2kである。物体を静かにはなしたとき、床に衝突するまでの時間を求めよ。重力加速度をgとする。

最初の位置を0として下向きにx軸をとると、物体はx=mg/kを中心として単振動をする。この周期Tは2π√m/kである。
よってもし床がなければ時間T/2で物体は最下端にくる。
実際には時間T/2の前に床に衝突する。
よって求める時間は
3/4×T/2=3π/4(√m/k)
としましたが選択肢にありませんでした。
答えはx=mg/k+Asin(ωt+α)として
初期いそう色々とかもとめて
t=2π/3(√m/k)としていました。
なぜ自分の方針だとダメなのでしょうか？もっと簡単に解ける方法があればよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 解説していただきありがとうございますm(__)m
  すいません、x=mg/k-Acosωtとおけるのは何故ですか？
  はじめの位置を0として下向きにx軸をとると考えるとA=mg/kとすると
  
  公式だと、x=Asinωtだったと思うのですが、、、。
  位置xは振動中心を基準として考えるから
  でしょうか？
  でもはじめの位置は中心mg/kより軸の負の方向にあるから
  mg/k-Asinωtと思ったらt=0でおかしい、、、ちょっと混乱してうまく説明できませんがよろしければ教えてくださいm(__)m

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/10 03:18

No.2 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/10 04:01

その辺り私も良く混乱します

とりあえず、バネがあるのでバネの自然長の所をx=0とおきます(重力との釣り合い点を0とおくとバネの力を計算しにくい)
そして、下向きを正に取ります

x=0で手を離すので、v=0,1/2kx=0
よってこの時位置エネルギーしか持ってません
運動エネルギーもバネエネルギーもないので、位置エネルギーをこの状態より高くする事は不可能になります
つまり、x=0が最小値(下向きを正に取っているため。高さとしては最大値)となります
あとは運動が単振動していること、t=0からはとりあえず増加すること、x0を超えないことから-Acosωtとおけます

もしくは釣り合いの点からの単振動を考えた時、明らかに離した点が最大値か最小値です
ですのでcosでかけます
この時初期値が釣り合いの点より上、つまりマイナス側なので-Acosωtとなります

簡単にというのでなく、真面目に解くなら
釣り合いの点を原点とする座標をXと置くと、
x=mg/kでX=0となるので、
X = x- mg/k ……①
とおけます
このXがt=0で最小値を取る単振動をするので
X = -Acosωt
①に代入して
-Acosωt = x - mg/k
x = mg/k - Acosωt
と出ます

どれでもですが、t=0でx=0(X=-mg/k)なので、
A = mg/k
と求まります

あとはωも公式的に覚えても良いですし、運動方程式からも出せます
(Xのままですと、この運動方程式が少し面倒になります)

この回答へのお礼

遅れて申し訳ありませんm(__)mこんな詳しく解説していただきありがとうございましたm(__)m
やっと理解できました！演習がんばります！ありがとうございましたm(__)m

お礼日時：2015/11/10 23:14

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/10 02:52

ダメな理由は等速運動を仮定してませんか？

2mg/k落ちるのに、T/2かかるから、3mg/2k落ちるのは3/4 x T/2だろうと

実際には落ちれば落ちるほどバネの引きで加速度が減るので、こういう計算では出せません

もう少し簡単にするのなら、t=0で最小値を0を取るので、
x = mg/k - mg/k cosωt
とおける事に気づきます
また、単振動の周期から
ω = √(k/m)
となります
あとは、x = 3mg/2kのtを計算するだけです(解答と同じ)

もしくは、mg/kを0、初期座標を1とする座標系で考えると、cosωtの運動になり、地面は-1/2になるので、ωt = 2π/3
t = 2π/3 √(m/k)