２次関数のグラフ総合問題

Ｏを原点とするxy平面上の放物線ｙ＝x^２をＣとする。Ｃ上に２点Ｐ(ｐ、ｐ^２)、Ｑ(ｑ、ｑ^２)　ただし(ｐ＜０＜ｑ)があり、ＯＰとＯＱは垂直である。
(１)　ｐｑ＝－＿
(２)　Ｐ、ＱがＣ上を動くとき、線分ＰＱの中点の軌跡は、
放物線　ｙ＝＿
(３)　折れ線ＰＯＱとＣとで囲まれる部分の面積は
ｐ＝－＿のとき、最小値＿

この問題の下線部の部分がわかりません。
説明もつけて解答よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： postro 回答日時： 2004/07/01 17:55

こんなふうになりましたが、あまり自信なし。

(１)　直線OPの傾きはｐ　　ＯＱの傾きはｑ　　（但し　ｐ≠０　，　ｑ≠０）
この２つの直線が直交しているので　ｐｑ＝－１　・・・・答え
(２)　Ｐ(ｐ、ｐ^２)、Ｑ(ｑ、ｑ^２)　の中点Ｒの座標を　Ｒ(ｘ、ｙ)　とおけば
ｘ＝（ｑ+ｐ）／２　　ｙ＝（ｑ＾２+ｐ^２）／２
ｙ＝（ｑ＾２+ｐ^２）／２
　＝（（ｑ+ｐ）＾２　-　２ｐｑ）／２
　＝（（ｑ+ｐ）＾２）／２　+　１
　＝２ｘ＾２　+　１　・・・・答え
(３)　折れ線ＰＯＱとＣとで囲まれる部分の面積Ｓは
Ｓ＝∫（ｘ＝ｐ→0）（ｐｘ－ｘ＾2）ｄｘ　+　∫（ｘ＝0→ｑ）（ｑｘ－ｘ＾2）ｄｘ
　＝（１／６）（ｑ＾3　-　ｐ＾3）
　＝-（１／６）（ｐ＾3　+　１／ｐ＾3）≧　１／３
等号は　
ｐ＝－１　のとき、最小値　１／３　　・・・・答え

この回答へのお礼

とても参考になりました。お答えいただきありがとうございます。最後は相加相乗平均ですね。

お礼日時：2004/07/07 22:37

No.1 回答者： BBblue 回答日時： 2004/07/01 16:08

(1) OP と OQ の傾きを求めましょう。

垂直になる条件は？

(2) 中点を Ｍ(x,y) とします。x,y を p,q で表すと？
そこから p,q を消去すれば？（(1) を使います）

(3) 直線 PQ と Ｃ で囲まれる部分の面積は？（積分）
△OPQ の面積をここから引いてやります。

頑張って計算してくださいね！