4次関数y=-x^4+8x^3-18x^2+11 に二点で接する直線の

4次関数y=-x^4+8x^3-18x^2+11 に二点で接する直線の方程式を求めよ。
という問題が分かりません。
よろしくお願いします！

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/04 03:29

#2です。

添付グラフで接点のx座標のa,bの位置が少し右にずれています。
接点のx座標を示す赤縦線の付け根あたりにつけるよう訂正して見て下さい。

自分でもy=f(x)の増減表を作るなどしてグラフの概形を描いてみて下さい。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/11/04 03:21

4次関数

y=f(x)=-x^4+8x^3-18x^2+11…(1)

接線の方程式を
y=g(x)=mx+n …(2)
とおく。

(2)が(1)と2点で接するからそれらの接点のx座標をa,b(a<b)…(3)とおくと
f(x)-g(x)=
-x^4+8x^3-18x^2+11-(mx+n)=-(x-a)^2*(x-b)^2 …(4)
とおける。
(3)はxの恒等式として、左辺と右辺の展開式の各次の係数を比較して
係数m,n,a,bの連立方程式を立てる。
連立方程式を整理すると
a+b=4 …(5), a^2+b^2+4ab=18 …(6)
m=-2ab^2-2a^2b …(7), n=a^2b^2+11 …(8)

(3)の条件の下で(5),(6)を解けば
a=2-√3, b=2+√3

これらのa,bを(7),(8)に代入してm,nを求めると
m=-8, n=12

これらのm,nを(2)に代入すれば求める接線の方程式が得られるでしょう。

［結果の確認は自分で］
自分でグラフの概形を描き、自分で計算の流れをフォローして
(4)の恒等式の係数連立方程式も自分で立て、解いてみて結果が正しいかをチェックするように下さい。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/03 21:50

こんばんわ。

まずは、4次関数のグラフを描いてみましょう。
そして、どの辺りに求めたい直線が現れるか、何本現れるかを確認しておきましょう。

【考え方１】
接点の x座標をα、βとおくと、
直線はこれら 2点を通るので、直線の方程式もα、βで与えられます。
「接する」ということは、「y座標」と「傾き」それぞれに対して条件を与えます。

【考え方２】
「接する」ということを連立方程式の解としてどうなるかを考えると、x座標はある特殊な解として与えられます。
直線の方程式を適当に置いて、方程式の形を考えることで直線を求めることができます。


【考え方２】の考え方は、【考え方１】から導くこともできます。
（「接する」という条件から、方程式の解がどうなるかを論じることができる）
ですので、根本の考え方は同じになります。