物理学 質点・剛体系の問題です

物理学　質点・剛体系の問題です
中心を通る鉛直軸のまわりに自由に回転できる半径rの円盤（質量は無視できる）の一つの直径の両端に質量Mの人Aと質量mの人Bがいて、始めは円盤と人Aと人Bは静止していた。次に人Bだけが円周に沿って動きAの所まで来たとすると、この間に円盤は接地面に対してどのくらいの角度だけ回転したか求めよ。（ただし、円盤と接地面との摩擦はないものとする）

No.3 回答者： mandegansu 回答日時： 2015/11/27 13:57

Bが無限大の時間で円周に沿って動きAの所まで来たとすると回転しないと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/26 10:30

No.1です。

ちょっと考えてみましたが、うまい説明のしかた、求め方が思い浮かびません。

まあ、「船の上での物体の移動」と同じように、「宇宙空間での円状のチューブで構成される宇宙ステーションで、人間なり物体が移動するときの宇宙ステーションの位置と姿勢」を求める問題と考えればよいのでしょう。

↓ こんな宇宙ステーションのイメージ
http://k-hiura.cocolog-nifty.com/blog/2008/01/20 …

（１）最初の静止状態では、円板の質量を無視すれば（「質量は無視できる」と書いてある）、重心位置は「ＡとＢとを結ぶ直線上の、直線をm:Mに分割する点」です。
　この位置が、継続して空間上の一定位置を維持し続けることになります。

（２）Ｂが円周に沿って歩きはじめると、Ｂの位置が変化します。これに伴い、円板上の重心位置も変化します。
　重心位置自身は、「ＡとＢとを結ぶ直線上の、直線をm:Mに分割する点」であることは変わりませんが、円板上のＢの位置が変化することにより、それに追従して変化するわけです。
　ただし、上に書いたように、この「重心位置」は、3次元空間上の一定位置から動かず、円板の中心位置と角度が変化していくということです。

（３）やがて、円板上のＡの位置とＢの位置が一致します。このときには、重心位置がこの「Ａ、Ｂの位置」と一致します。

（４）上記の（１）～（３）の重心位置の軌跡は、円板上に「曲線」として描かれます。これは、
(a)「円板上に固定した座標軸」
での軌跡であり、座標系を変換すると
(b)円板の外の固定座標から見ればこの「重心位置」は固定で、円板の中心位置、角度が変化していく。
(c)円板の中心位置を固定し、重心位置が「直線」（たとえばＸ軸）上にあるような座標系では、Ｂが円周上を進むにつれて、円板がＢの進行方向を逆向きに回転してＡがＢに近づき、やがてＸ軸上でＡとＢが重なる。
のような関係になります。

　この問題は、(c)の座標系で見て、円板はどれだけ回転するか、ということを問うているわけです。

　解答としては、No.1に書いた通り、
　　時計回りに「180° × m/(M+m) 」の角度
ということになります。

　こんな定性的な説明しかできません。
　もっとうまく説明できる方がいたら、よろしくお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/25 23:21

計算方法はすぐには思いつきませんが、考え方としては、外力が一切ないので、「台車上の物体の移動」や「船の上の物体の移動」と同じように、「重心位置・つり合い位置は一定」という方法論で解答は出せると思います。

　この考え方で、「静止状態で、A～B間の円周をm:Mに分割する点」でＡとＢが重なります。
　角度でいえば、現在の「Ａ」点から、時計回りに「180° × m/(M+m) 」の位置です。

　きちんとした説明は、ちょっと時間を下さい。