X(ω)=H(ω)×F(ω)の逆フーリエ変換

X(ω)=H(ω)×F(ω)を逆フーリエ変換するとx(t)=∫f(τ)h(t-τ)dτになるのですが、導出方法がどうしてもわかりません。導出方法を教えてもらえませんか。

http://kaji-lab.jp/ja/index.php?plugin=attach&re …

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/12/01 15:48

定義に従い計算していきましょう。

ただ、気を付けないといけない点として、リンク先のフーリエ変換の式は係数が省略されていることに留意しないといけない。(通常1/(2π)もしくは1/√(2π)が係数としてつく。実際にはこの係数を無視すると計算が合わない)

x(t)=∫[-∞,∞]dωX(ω)*exp(jωt)=∫[-∞,∞]dω{H(ω)×F(ω)}*exp(jωt)

ここでH(ω),F(ω)の定義式を代入する。ただし、Hの式とFの式は独立なので積分する変数は別にしておく。

x(t)=∫[-∞,∞]dω[∫[-∞,∞]dt1 h(t1)*exp(-jωt1)][∫[-∞,∞]dt2 f(t2)*exp(-jωt2)]*exp(jωt)

ここで積分の順番を入れ替える。ωでの積分を先にやってしまう。被積分関数のうちωを含むのはexpの部分だけ。それをひとまとめにする。

x(t)=∫[-∞,∞]dt1 h(t1)∫[-∞,∞]dt2 f(t2)∫[-∞,∞]dω exp(-jωt1)*exp(-jωt2)*exp(jωt)
=∫[-∞,∞]dt1 h(t1)∫[-∞,∞]dt2 f(t2)∫[-∞,∞]dω exp{jω(t-t1-t2)}

ωでの積分の式は何か、これはδ関数である。
x(t)=∫[-∞,∞]dt1 h(t1)∫[-∞,∞]dt2 f(t2)δ(t-t1-t2)
(実際には2πの係数がつく。リンク先の計算ではこの係数を無視しているのでここでも無視する。
実際にはフーリエ変換、逆フーリエ変換の際に出てくる係数と約分され、定義にあった係数に落ち着く)

t1での積分を行う。δ関数の性質から
∫[-∞,∞]dt1 h(t1)δ(t-t1-t2)=h(t-t2)
となり、あとはt2=τとおけば質問に出てくる式が得られます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました。δ関数を使うところがポイントなのですね。

お礼日時：2015/12/01 22:23