解いてください

7^7^7^7^7^7^7 を 13 で割った余りはいくつですか？

No.14 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/09 22:27

No.13は間違えです。

No.13 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/09 22:26

>No.12

7^2=49≡1(mod13)
ですよ。

No.12 回答者： nag0720 回答日時： 2015/12/09 20:33

>No.9で、指数部分が奇数なら7(mod13)になるのは自明だった…

7^2≡10(mod13)
7^3≡5(mod13)
7^4≡9(mod13)
7^5≡11(mod13)
7^6≡12(mod13)
7^7≡6(mod13)
です。「指数部分が奇数なら7(mod13)」は成り立ちません。


当然、7の奇数乗だからという理由で、
7^(7^(7^(7^(7^(7^(7))))))≡7(mod13)
となることもありません。

No.11 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/09 19:32

No.9で、指数部分が奇数なら7(mod13)になるのは自明だった…

No.10 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/09 19:28

後者

フェルマーの小定理より
7^12≡1(mod13)
7^24≡1(mod13)
7^48≡1(mod13)
7^(12*n)≡1(mod13)

7^2≡1(mod12)
7^7≡7(mod12)
したがって、
7^(7^7)≡7^(12*m+7)≡7^(12*m)*7^7=7^(12*m+1)(mod13)
7^(7^(7^7))≡7^(7^(12*m+7)) (mod13)

つまり、7^(7^(7^7))は奇数

従って、
7^(7^(7^(7^(7^(7^(7))))))≡7(mod13)
(7の奇数乗だから)

結論
(((((((7)^7)^7)^7)^7)^7)^7)と
(7^(7^(7^(7^(7^(7^(7)))))))は
≡7(mod13)

No.9 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/09 19:24

再々訂正

前者ならこれ
7^2≡1(mod13)
7^3≡7(mod13)
7^4≡1(mod13)
7^5≡7(mod13)
7^6≡1(mod13)
7^7≡7(mod13)
(7^7)^7≡7^7≡7(mod13)
(((7^7)^7)^7)≡7^7≡7(mod13)

従って、
((((((7^7)^7)^7)^7)^7)^7)≡7(mod13)

No.8 回答者： nag0720 回答日時： 2015/12/09 10:48

No.2 です。

ngkdddjkkさんがいろいろ回答していますが、ちょっと気になったので。

正解に近いのは、No.6ですかね。
前半の３つの式は間違っていますが、
(7^7)^7≡7(mod13)　は正しいので、
((((((7^7)^7)^7)^7)^7)^7)≡7(mod13)　で合っています。

No.5は、
7^49=7^(7^7)　はケアレスミスでしょうか。
あと、
「n≡m　⇒　n^k≡m^k」は正しいですが、
「n≡m　⇒　k^n≡k^m」は正しくありません。
なので、
7^(7^7)≡7(mod13)　　（この式自体間違っていますが）
から
7^(7^(7^(7^(7))))≡7(mod13)
7^(7^(7^(7^(7^(7^(7))))))≡7(mod13)
は導かれません。


No.2の回答は、
k^q≡1(mod p)、n≡m(mod q)　⇒　k^n≡k^m(mod p)
の性質を利用しています。

No.7 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/07 20:19

再訂正

前者なら、
7^2≡10(mod13)
7^3≡5(mod13)
7^4≡35≡12(mod13)
7^5≡84≡6(mod13)
7^6≡42≡3(mod13)
7^7≡21≡8(mod13)
(7^7)^7≡8^7≡5(mod13)
(((7^7)^7)^7)≡5^7≡8(mod13)

従って、
((((((7^7)^7)^7)^7)^7)^7)≡5(mod13)

No.6 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/07 19:55

訂正

前者なら、
7^3≡7(mod13)
7^6≡49≡1(mod13)
7^7≡7(mod13)
(7^7)^7≡7(mod13)

従って、
((((((7^7)^7)^7)^7)^7)^7)≡7(mod13)

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/07 19:34

後者

フェルマーの小定理より
7^12≡1(mod13)
7^24≡1(mod13)
7^48≡1(mod13)
7^49=7^(7^7)≡7(mod13)

従って、
7^(7^(7^(7^(7))))≡7(mod13)
7^(7^(7^(7^(7^(7^(7))))))≡7(mod13)

なぜかほかと解が違うのは、計算ミスか？？？