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No.2
- 回答日時:
⑤は、まずこの波には、「ある時刻の座標 x の関数」(場所ごとの変位)として表わす方法と、「ある座標での時間 t の関数」(変位の時間変化)として表わす方法の2つがあることを理解しましょう。
そして、一般表記としては、波は「座標 x と時間 t の関数」として表わす必要があるということです。
では、順番に。
(1)「ある時刻の座標 x の関数」(場所ごとの変位)としては、グラフから直接
y = - 0.1 * sin( 2パイ * x/0.8 ) (A)
と書けますね。
グラフは「ある時刻で、時間よとまれ!といったときの波形」なのです。
これだと面倒なので、時間を 1/2 周期(0.1秒)巻き戻して、グラフのBが原点にあった時刻で表わせば
y = 0.1 * sin( 2パイ * x/0.8 ) (B)
(2)「ある座標での時間 t の関数」(変位の時間変化)としては、例えば「D点」に固定して、時間とともに振幅 y がどう変化するのかを考える必要があります。
周期は 0.2 なので、「D点」は0.2秒のうちに「y=0 から上がって、下がって0に戻って、さらにマイナスに下がって、上がって 0 に戻る」という1周期を経ることになります。時間が進むにつれて波は左側からやってきますので、このような動きになります。その振動は
y = 0.1 * sin( 2パイ * t/0.2 ) (C)
と書けます。
これは、xの位置を固定して、「時間とともに上がったり下がったりしている波形」ということで、与えられたグラフから、その時間変化を紙芝居として自分で想像しないといけません。
(3)さて、(1)の座標 x の関数と、(2)の時間 t の関数を、まとめて書くとどうなるでしょうか。
sinの中はどちらも無次元数なので、そのまま足し合わせればよさそうですが、(2)で見たように「時間とともに、波は x の左側、つまりマイナス方向からやって来る」ので、時間 t はマイナスにします。つまり、変位の初期条件を Φ として
y = 0.1 * sin[ 2パイ * ( x/0.8 - t/0.2 ) + Φ ]
と書けます。
初期条件として、グラフは t=0 のときのものなので、t=0を代入した
y = 0.1 * sin[ 2パイ * x/0.8 + Φ ]
が(A)に一致するには
Φ = パイ
で
y = 0.1 * sin[ 2パイ * ( x/0.8 - t/0.2 ) + パイ ]
= -0.1 * sin[ 2パイ * ( x/0.8 - t/0.2 ) ]
= 0.1 * sin[ 2パイ * ( t/0.2 - x/0.8 ) ]
ということになります。
いろいろな x, t を入れて確認してみてください。
つまり、波の一般式は、振幅を A、波長 λ、周期 T として、
y = A * sin[ 2パイ * ( x/λ - t/T ) + Φ ]
となることを覚えておくとよいです。
⑥は、縦波では波全体が「粗密」の繰り返しになるので、このグラフの y が「中立位置から前に行ったり、後ろに行ったりする変位」を意味することを理解するのが出発点です。その各点の変位が集まるところが「密」、ばらけるところが「疎」というわけです。
この「中立位置からの変位」と「波の粗密」を関連させてイメージするのがけっこう難しいので、こんなサイトの図を参考にしてください。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/wave/hadou/yok …
各点で見ると、「中立位置からの変位」が「正から負に変わる」あたりが最も密で、「負から正に変わる」あたりが最も疎になる、ということです。
考え方としては、変位 y を微分した「速度」dy/dt が最大になるのが「疎」のところ、最小になるのが「密」なところです。道路の渋滞でも、つまって渋滞したところは速度が遅く、車がばらけたところは速度が速いですよね。
図でいえば「D」が最も密になり、「B」が最も疎になります。
速度がゼロになるのは、変位が最大のところ(前方向に伸びきったところから戻り始める点)、および変位が最小のところ(後ろ方向に伸びきったところから戻り始める点)、つまり「A」と「C」です。
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