センター物理波動

Question

図1のように水を張った十分に広い水槽の水面上に同じ長さの2本の棒を置き、棒を同じ位相、同じ振幅で連続的に振動させて波を発生させた、各棒から発生した水面波の波面は棒に平行であるものとし、波の伝わる速さをV、波長をλとする。又、振幅の減衰、および波の反射は無視する、

図1に示すように、水槽の中心が原点Oになるように、x,y座標をとると、各棒から発生した水面波の波面がx軸となす角は30°であった、図1には各棒がそれぞれ単独に振動した場合の山(実線)と谷(破線)の波面の一部が示されており、実際に観測される波は2本の棒から発生した波を重ね合わせた合成波である 棒が動き始めてからしばらく時間が経過すると、

xy平面上のすべての場所で波が重なり合成波が生じた、このとき2つの波が強めあう場所を連ねた線(以下、腹線という)は原点O付近では直線群となった 問 腹線を太い実線で示した図はどうなるか、ただし原点Oから２本の棒までの垂直距離は等しいものとする

解説　x軸に沿って波を見ると、互いに逆向きに進む波の重ね合わせになるから、その合成波は定常波になる、x軸に沿って見た水面波の波長はλ[x]=λ/sin30°＝２λである
定常波の腹はx軸上に間隔d=λ[x]/2=λで並ぶ

とあるのですが棒から出た波は棒に平行な線の事ですよね、これらがx軸上で交わる位置が異なるのでx軸上の交点の位置の差がλ[x]としてますがλ[x]というのはどういう事を意味するんですか？λが波の波長ですよね？図からλ[x]は2λと分かりますがdは何なんですか？x軸に沿って波を見ると互いに逆向きになるとありますがx軸で交点を持つ位置が右の棒から出た波だとだんだん左側になっていき左の棒から出た波はだんだん右になっていますよねこれは右の棒から出た波は左に進み左の棒から出た波は右向きに進んでいるという事ですか？

何でx軸の交点の位置が右になって行くと右に波が進み交点の位置が左になって行くと波が左に進んだことになるんですか？補足でy軸に沿って2つの波を見ると同じ向きに進む波の重ね合わせになるから合成波はy軸の正の向きに進む波となるy軸に沿って見た水面波の波長はλ[y]=λ/cos３０＝２λ/√3であるからy軸に平行に進む波の速さはV[y]=λ[y]/T=2λ/√3Tの所でこれもy軸にλ[y]がどいう事でこれを求めると何が分かるのか分かりません

CC_T · Accepted Answer

３D描いてみた。

こんなワッフルみたいな合成波のイメージで居るのかね？

実際は…次の回答で。

CC_T · Answer

>この図の数値は何を意味しているんですか？よく分からないです、
図中に、「各数値はZ座標を表す」と書いてある。
文章にも
>灰色塗りの中の数字は、基本となる三角波のZ座標。
と書いてある。

きちんと回答を読んで下さい。

>絵で見たほうが分かりやすいと思うんですが、駄目ですか
好意の限界。これ以上の時間を裂く気はありません。

頑張って回答の初めから読み返して理解に努めて下さい。

CC_T · Answer

ごめんなさい。No.12の図は誤りでした。
谷部分が上手く描けていませんね、これ。
正しい状態は・・・うぅ、こちらのCADでは描けねぇ・・・

～～～
２つの三角波が交差する場合の波の重ねあわせについて、図表を添付しておきます。
左右の波と上下の波が90度で交差した状態。

灰色塗りの中の数字は、基本となる三角波のZ座標。
重なる部分についてはＺ座標の大きさに応じて色分けしてあるので、頑張ってイメージしてください。
図に示したように、交点のZ座標は２つの波Z値の足し算で求められます。

正弦波は三角波が丸まった状態だが、凹凸のイメージは似たような物だ。
60°で交差の場合は、斜めの格子に描けばいいだけのこと。
で、実際に描いてみてその上で定規をずらしながらあて、そこの断面がどう見えるかをZ軸の値で追ってみれば良い。

それぞれの波が進むとどうなるかも、この図表の灰色塗り部分の数字が動くとどうなるか描いて確認してみればいいし、それで定在波が出来ている事も確認できるでしょう。

以上で回答終了とさせていただきます。

CC_T · Answer

こんな感じ。
波高は1/２倍で描いてある。

手前の断面はX-Z断面だ。

CC_T · Answer

No.8> これも図で分かるような所はありますか？
波の合成については既にNo.3回答で参考リンクを示してある。
あれを見て理解できないのなら、どこの図を見ても無駄で、混乱するだけだろう。

例えば同じ波高の波と波を合成すると、「山の交点」では波の高さは元の波の2倍になり、「谷の交点」では波の深さが２倍になる。それは理解できただろうか？

No.8> 交点以外は2つの波が互いに通り過ぎてるだけで交点以外が
No.8> 重ね合わさっているように見えないです、
「互いに通り過ぎてるだけ」ってのはどういうことか？
山や谷の交点以外は互いに干渉せず、もとの単一の波の時と同じ波形を保っているとでも？
もしそうなら、まだ風呂で波の重ねあわせを実験していないに違いない。

左右の棒からの波は途切れのない正弦波であり、重ねあわせても途切れのない波となる。
重ねあわせ前の波の波高をTとすると、山の交点のZ座標は2T。節の交点は0、谷の交点は-2T。山と谷の交点は0、節と山の交点はＴ、節と谷の交点は-T、だ。
波の重ねあわせは単純に足し算だから、いずれも当然の事。そしてその間は滑らかに連なっていて、どこも途切れてなぞいない「食器洗い用スポンジの表面」に似た状態になる。

No.8> スポンジをどうすればいいんですか
色々な角度で切れと既に書いた。それが波の断面だと。
波板は片側の波、スポンジは両側からの波が重なった状態をそれぞれ模した物になっている。
それも既に書いた。
波板の代わりに、段ボールでもいい。

NO.4の図の補足として１図描いておいた。
意図を理解してもらえるだろうか。
波の進行方向をW軸とすると（画面で左から右上に向かっている線）、Z-W断面での波の高さとX-Z断面で波の高さは等しく、X-Z断面に表れる波形はZ-W断面の波形が横に引き伸ばされた形の正弦波になるという事を表したつもりなのだが。
これが理解できねば、重なった波形のイメージができまいて。
ちなみに先の回答にも書いた通り、X軸とW軸の為す角が30度の時は横に倍に引き伸ばされた正弦波となる。

ちなみに左右からの正弦波ではなく三角波を重ねあわせた状態の表面は
http://auction.rakuten.co.jp/item/12018553/a/10000802/
こんな感じになる。（これは積み木だから安全のために山の頂点がカットされてるけど、色分けされているから見やすいだろう）

数学的な証明も難しくはない。反対から来る波の進行方向をw'軸とすると、W-W'座標の各格子点（もちろんW-W平面では格子はひし形で表される）におけるそれぞれの波のZ値を求めて足し合わせれば、その点の合成波のZ値となる。気が済むまで細分化して計算してみると良いだろう。

tknakamuri · Answer

単純な1次元波でさえまるで
無理解なのに、2次元や定常波なんて無理ですよ。

まず波が「進行」するというのは
どういうことなのか?

このあたりから一歩一歩理解を固めて行かないと
一歩も進めないですよ。

CC_T · Answer

>定常波っていうのは節や腹の位置が変わらずずっと同じ形の波の事ではないんですか？
定在波は節や腹のX軸上の位置は変わらないが、腹は周期的に変動する波ですよ？「ずっと同じ形」ではない。
ちょっとwikiでも調べてみればアニメーション付で説明されているんですけどねぇ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E6%B3%A2

今２本の棒とｙ軸の距離が等しいからＹ軸上に山と谷が交互に現れるわけで、図１で波の山と谷を描いたひし形の格子は時間の経過とともにｙ軸プラス方向に進むように見える状態にあるのです。
ＸZ平面で切って見れば、そこに表れる定在波の腹の一つの位置に原点Ｏが位置している状態。

>2本の棒から出た波が互いに交わっている交点を結んだ直線の事ですよね？
えぇ、そしてその線は時間と共にY方向に移動していくわけです。

>ぶつかった場合2つの波は一点で交わるだけじゃないんですか？
だから波の合成について調べろと繰り返し・・・・。

>これはどういう状況なのかイメージできません、交点しか重なっているように見えないです
＞x軸上の交点同士を集めたら波になるのが分からないです
それは節や腹でしか見ていないからでは？
あなたの頭の中では、波が山の頂点の直線と谷底の直線の2本しかないのかも知れませんが、波は文字通り「波打って」いて、節と腹以外も途切れなく連続しているものです。

＞NO4で示されている図で正面を向いている波の図がx軸上で波になっている様子ですよね？
＞本来お互い斜め方向に進んでいるのにx軸方向から見ても何で波になるのかが分からないです
だからスポンジや波板を切ってみろと繰り返し・・・・。

次回に捕捉があっても、浴槽や水槽で波をたてて壁の水面を観察するなり、スポンジを切って見るなりのアドバイスを実施の上で願いたいものです。

CC_T · Answer

>原点O付近で直線群が強めあう場所を連ねた線になる事はどこで分かるんですか？
設問が正しく読み取れていないから混乱するんです。
※2つの波が強めあう場所を連ねた線(以下、腹線という)は原点O付近では直線群となった
と書いてある。「直線群となった」って書いてあるんですよ。
それを否定して考える必要がどこにあるのでしょうか？
他にも、例えばあなたは腹線の一つが常に原点O上にあると勘違いしてるかもしれませんね。
>Oが絶対腹になるというのは何で分かるんですか？
なんて書いてあるくらいですから・・・。原点Oは常に腹ではないですよ？
原点Oが腹になるなんて設問のどこを読んでも導けないし、第一、設問の内容に矛盾している事。
波をじっくり観察した事が無いのなら、せめてお風呂で右手と左手で波をたてて観察してきなさい。

>x軸上に並んだ山の点と谷の点が並んだ直線が波になっているのは何で分かるんですか？
a=2の時に１×a＝２となるのと同じくらい、自明の事。
前出のスポンジと同じような物を買ってきて、様々な角度で切ってみなさい。
当然ながらスポンジ表面では波は進んでいかないので、それは「ある瞬間」の波の模型と同じ。あと一般的なスポンジは波の交差角は60度ではなく90度で作られているって違いはあるが、それは断面を表面の関係を観察する上で支障にはならないから。

>又x軸上にある波が定常波になるというのは何で分かるんですか？
それをNo.4で図解付で説明したというのに、全く理解されていないのが悲しいですね…。
そもそもなぜ「定常波にはならないかも？」と考えているんですか？
こちらはあなたの頭の中をのぞけないんですから、言葉惜しみされるとさっぱりです。
ちなみに、「定常波」ってのもスポンジみたいに固まった波ではなく、sin(ωt)で表される時間と共に”周期的に変動している”波のことですよ。分かってます？

＞x軸に平行な直線の所はx軸に平行な直線で尚且つ波が交点を持つ直線の事ですよね？
「x軸に平行な直線の所」ってどこのことか？これも言葉惜しみで伝わってこない。
設問にそんな線は説明されていないし、こちらの回答にもそんな表現をした部分は無いはずだが…。

>2本の棒は互いに同じ角度傾いて対称な位置関係になっているんでしょうか？
※各棒から発生した水面波の波面は棒に平行であるものとし
※x,y座標をとると、各棒から発生した水面波の波面がx軸となす角は30°であった
あなたはこの２つの文をどう読んでいるのか？
棒から出た波が棒に平行に進み、その波がX軸と30度の角を成すならば、棒もX軸と30度の角を成すのは自明の理ではないのか？

>実際に観測される波は2本の棒から発生した波を重ね合わせた合成波である
>とありますが実際に観測される波ってどういう事ですか？
>全部観測されるんじゃないんですか？
振幅の減衰および波の反射は無視、ってこと。純粋に２本の棒から生じる波だけを考えろって言っている。
つまり現実で水槽に棒を浮かべて実験すると、水槽の壁で反射してきた波があったり、水には質量があるから波が移動していくうちに運動エネルギーを失って減衰していくし、風の影響や互いの棒で反射する波だってあるだろう。しかしそれらは考慮しないでも良いって言ってくれてるの。それらの「現実」をいちいち定義して解かせると冗長的すぎ、物理現象を理解しているか確認する設問ではなくなって計算の正確さを問うものになってしまうので。

>2本の棒から発生した波を重ね合わせたっていうのは2本の棒から出た波がぶつかっている部分ですか？
その通りだが、「ぶつかる」のを個体の衝突と同じように解釈していないか？
波の合成についての参考リンクは見たのか？

>すべての場所で重なったとありますが波がぶつかっていないところもありますよね
無い。
※xy平面上のすべての場所で波が重なり合成波が生じた
とあるのだから、設問文を無視して世界を作ってはいけない。
※図1には各棒がそれぞれ単独に振動した場合の山(実線)と谷(破線)の波面の一部が
と書いてあるように、図１に示されているのは「実際の波」の一部に過ぎない。

CC_T · Answer

あ、ミス発見。
No.5>Y軸、Z軸は紙面に対して傾いているので表現しにくいですね。
No.5>問題文の図をZ軸を芯にして奥側に倒した状態で書いてます。
ZとX書き間違えてら
　問題文の図をＺ軸を芯にして奥側に倒した状態で書いてます。
ですね。訂正します。

CC_T · Answer

>この波っていうのは左の棒から出た波ですよね？
yes

＞それを斜め右上方向をx軸として縦方向をz軸としてx-z平面で切って考えたって事ですか？
No.4回答の図に２点鎖線の平行四辺形と長方形がありますよね。
平行四辺形の方は波の進行方向（斜め右上奥方向）に平行でxy平面に垂直な面で切った断面。
長方形の方はX-Z平面で切った断面です。
ですから画面の「左右方向」がX軸。
Y軸、Z軸は紙面に対して傾いているので表現しにくいですね。問題文の図をZ軸を芯にして奥側に倒した状態で書いてます。

>切った時に、2λと書かれているのがλ[x]の事だと思うのですが
その通り。

>これが一定値になるという事を知りたいんですが～2つのλ[x]が等しいという事なんですか？
お描きになった図の通りです。
等間隔λで並んだ平行線に交差する直線を描けば、その直線が平行線で区切られている部分の長さは全て等しくなる。算数の授業で「同位角」とか「合同図形」と一緒に学ぶような事です。

センター物理 波動

３D描いてみた。

この回答への補足

>この図の数値は何を意味しているんですか？よく分からないです、

この回答への補足

ごめんなさい。

この回答への補足

こんな感じ。

この回答への補足

No.8> これも図で分かるような所はありますか？

単純な1次元波でさえまるで

この回答への補足

>定常波っていうのは節や腹の位置が変わらずずっと同じ形の波の事ではないんですか？

この回答への補足

>原点O付近で直線群が強めあう場所を連ねた線になる事はどこで分かるんですか？

この回答への補足

あ、ミス発見。

この回答への補足

>この波っていうのは左の棒から出た波ですよね？

この回答への補足

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