a aダガーは複素共役になっているが
何故行列でもないのにエルミート共役(転置複素共役)になるのですか
よろしくお願いします

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A 回答 (2件)

質問者は二つ勘違いをなさっています。



1.転置複素共役であることがエルミート共役であることの定義であると思っていること。
エルミート共役作用素を行列で表現すれば転置したものの複素共役をとったものになりますが、別にこれは定義ではなく、定義から得られる定理にすぎません。
エルミート共役の定義は下記のサイトでも見てもらえばよいでしょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4 …
この定義にしたがえば、生成演算子のエルミート共役が消滅演算子になることが簡単に確認できます。

2.生成(消滅)演算子が行列ではないと思っていること。
表現方法を変えれば、生成(消滅)演算子を行列として表すことができます。

簡単な例として、調和振動子についてみてみましょう。
調和振動子の固有ベクトルは無限次元となるため、生成演算子、消滅演算子はともに無限次元の行列となります。

一番エネルギーの低い状態をi=1,n番目の状態をi=nとして、状態{x_i}(i=1,2,3,...)というベクトルとして表現します。

生成演算子を表す行列をA=(a_ij),消滅演算子を表す行列をB=(b_ij)とすると
a_ij=(√(i-1))*δ_i,(j+1) δ_j,jはクローネッカーのδ δ_i,j=0(i≠j),1(i=j)
b_ij=(√(j-1))*δ_(i+1),j
となります。
a_ji=(√(j-1))*δ_j,(i+1)=b_ij=b_ij† (b_ijは実数)
であることからA,Bは転置複素共役であることがわかります。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答まことに有難うございます

お礼日時:2016/02/19 13:26

シュレディンガー式とハイゼンベルグ式があって、両者が同じということに由来するから、行列的表現が残されている。



あくまで、シュレディンガー式の表現であったとしても、それは行列的なものと等価であることをお忘れなく。
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運動量演算子Pを用いて、固有値方程式
 P|p>=p|p>
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 P=-ih~∂/∂x   (h~ はエイチバーです)
であることを用いて、
 -ih~∂/∂x|p>=p|p>
ですが、ここでこの方程式の両辺のエルミート共役の式に書き換えると、
 {-ih~∂/∂x|p>}^†={p|p>}^†
 ⇔ih~<p|(∂/∂x)=p<p|
となると思ったのですが、実際は
 ih~∂/∂x<p|=p<p|
のようでした。
どうしてxでの偏微分(という演算子)は<p|というブラと入れ替わらないのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。すいません、書き方が悪かったですm(_ _)m

基本的には#3さんの仰るような理由で、
> -ih~∂/∂x|p>=p|p>
> ih~∂/∂x<p|=p<p|
という式は成り立たないはずなので、こう思った理由というか、こう書いてあった部分の前後の文脈を聞きたかったんですよね^^;

ま、#3さんのご回答で解決していたらもう必要ないですが。

・・・という事だけ書くのもアレなので、#3さんのご回答とはかぶらない事を書いておきます。

|x>を位置演算子の固有値の固有状態(ではなくても、パラメータxに依存する状態たちであれば何でもいいが)として、(∂/∂x) |x>の†をとる事を考えます。

この微分の定義は、
lim (|x+ε>-|x>)/ε
ですので、†をとると、
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何か良い本があれば教えてください。
本当に困っています。
どうか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

エルミート行列とかにかんしては線形代数の教養部での教科書があれば、それに「簡単に」書いてありますよ。

以下のHPが全てですので、本を読む必要も無いかと。

さて、exp(iA)がなぜユニタリーになるかというと
転置A^t ,複素共役A^*であらわしますね。

エルミーと行列の特性 (A^t)^*=(A^*)^t=A
この特性のみが必要十分な知識です。

U=exp(iA)
(U^t)^*=(U^*)^t=(exp(-iA))^t=exp(-iA)
これはexpを展開してそれぞれの複素共役を計算して
転置も計算するとエルミート行列の特性から結局は
Aは変わらずexpが-になるだけでよいのが確認できます。
これは自分でやるべし。

これを展開してUとかけ算すると 
exp(iA)=E+iA-1/2A^2
exp(-iA)=E-iA-1/2A^2
exp(iA)exp(-iA)=E+iA-1/2A^2
-iA(E+iA-1/2A^2)
-1/2A^2(E+iA-1/2A^2)
=E+iA-1/2A^2
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=E+1/4A^4
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このかけ算がEにちがづいていきます。
ここでは二次までしかやってないけど、n次まで
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U(U^t)^*=(U^t)^*U=E
となります。

よって、Uのエルミート共役行列はUの逆行列になっているので、ユニタリー行列なのですな。

試験がんばれーー!化学が専門でも物理は
先端にいけば必要な知識なので~

参考URL:http://www.iris.dti.ne.jp/~k-ohkura/physics/matrix.html

エルミート行列とかにかんしては線形代数の教養部での教科書があれば、それに「簡単に」書いてありますよ。

以下のHPが全てですので、本を読む必要も無いかと。

さて、exp(iA)がなぜユニタリーになるかというと
転置A^t ,複素共役A^*であらわしますね。

エルミーと行列の特性 (A^t)^*=(A^*)^t=A
この特性のみが必要十分な知識です。

U=exp(iA)
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が成り立てばエルミートだといえると思うのですがこの先どう計算すればいいのか途方にくれています。
似たような問題がこの先もあるのでこれさえ理解できれば次のも解けると思うんです。なのでできれば計算過程詳しくお願いします。

(ΦとΨは二回微分可能で∫Ψ*Ψdτが有限であるような関数。dτは積分の適当な体積素片)

Aベストアンサー

訂正。

 
× ∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ=
[ixΨ*Φ](-∞~∞)-∫ix∂Ψ*/∂y・Φdτ
 
→○ ∫Ψ*ix∂/∂yΦdτ=
∫dx{[ixΨ*Φ](-∞~∞)-∫ix∂Ψ*/∂y・Φdy}
=∫dx∫Φ(ix∂Ψ/∂y)*dy=∫Φ(ix∂Ψ/∂y)*dτ

dxについては実際には積分しませんが、一応付けなければなりません。積分はdτとなっていますから。


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