a aダガーは複素共役になっているが
何故行列でもないのにエルミート共役(転置複素共役)になるのですか
よろしくお願いします

A 回答 (2件)

質問者は二つ勘違いをなさっています。



1.転置複素共役であることがエルミート共役であることの定義であると思っていること。
エルミート共役作用素を行列で表現すれば転置したものの複素共役をとったものになりますが、別にこれは定義ではなく、定義から得られる定理にすぎません。
エルミート共役の定義は下記のサイトでも見てもらえばよいでしょう。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E4%BC%B4 …
この定義にしたがえば、生成演算子のエルミート共役が消滅演算子になることが簡単に確認できます。

2.生成(消滅)演算子が行列ではないと思っていること。
表現方法を変えれば、生成(消滅)演算子を行列として表すことができます。

簡単な例として、調和振動子についてみてみましょう。
調和振動子の固有ベクトルは無限次元となるため、生成演算子、消滅演算子はともに無限次元の行列となります。

一番エネルギーの低い状態をi=1,n番目の状態をi=nとして、状態{x_i}(i=1,2,3,...)というベクトルとして表現します。

生成演算子を表す行列をA=(a_ij),消滅演算子を表す行列をB=(b_ij)とすると
a_ij=(√(i-1))*δ_i,(j+1) δ_j,jはクローネッカーのδ δ_i,j=0(i≠j),1(i=j)
b_ij=(√(j-1))*δ_(i+1),j
となります。
a_ji=(√(j-1))*δ_j,(i+1)=b_ij=b_ij† (b_ijは実数)
であることからA,Bは転置複素共役であることがわかります。
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この回答へのお礼

ご丁寧な回答まことに有難うございます

お礼日時:2016/02/19 13:26

シュレディンガー式とハイゼンベルグ式があって、両者が同じということに由来するから、行列的表現が残されている。



あくまで、シュレディンガー式の表現であったとしても、それは行列的なものと等価であることをお忘れなく。
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#1さんの証明では、運動量 P がエルミート演算子である事実を使って証明してありますが、何故 P がエルミート演算子であるかの証明はしてありませんので、不完全な証明と言えます。以下で完全な証明をするための手順を書き連ねておきます。

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先ずエルミート共役の意味を理解して下さい。これは例えば、座標表示での2つの波動関数を使って、その座標に関する積分で表現されていますね。

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この手順で、自分で手を動かして、証明して下さい。

===
蛇足:
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多分貴方は今量子力学の入門編を習っている段階だと思いますので、一先ず、波動関数はヒルベルト空間に属するものとして、従って、エネルギーの値は実数であるものとして理解しておいて下さい。そしてその理解で、いろいろな練習問題を解いて量子力学に慣れ親しんで下さい。

しかし、貴方が量子力学に大分上達した後で、もし将来、まだ未解決な物理学の基本問題の一つである、「時間の向きの対称性の破れ」の問題(即ち、何故この世の中に過去と未来の区別があるのかという問題)に興味を持つことがあったら、その段階で、「波動関数を果たしてヒルベルト空間だけに限ってよいのか」という問題に戻ってきて、貴方のここでの質問を思い出して下さい。もしかしたら、貴方の寄与によって物理学が進歩するかも知れませんから。

#1さんの証明では、運動量 P がエルミート演算子である事実を使って証明してありますが、何故 P がエルミート演算子であるかの証明はしてありませんので、不完全な証明と言えます。以下で完全な証明をするための手順を書き連ねておきます。

キーワードは部分積分です。

先ずエルミート共役の意味を理解して下さい。これは例えば、座標表示での2つの波動関数を使って、その座標に関する積分で表現されていますね。

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まずボーキサイトをなんやらかんやらしてAl2O3(アルミン)が出来ます。これを融解塩電解(氷晶石Na3[AlF6])してAlを生成します。炭素を電極に使っています

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プラス極で陽イオンが電子を受け取り,還元される。


[電気分解(あるいは電池の充電)]
マイナス極で陽イオンが電子を受け取り,還元される(水素発生または金属析出など)。

プラス極で陰イオンが電子を放出して,酸化される(酸素,塩素等のガス発生)。
あるいは
金属電極が電子を放出して陽イオンになって溶け出す(酸化)。


陰極,陽極という「電圧」(電位差)で見ると,
電池と電気分解は酸化還元が逆のように見えます。
しかし,「電流」(電子の流れ)で見ると統一されています。

>電極が溶け出して電子を出すのは電池の時だけ?
いいえ。
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Qエルミート演算子

こんばんは。量子力学(数学かも)に関する質問です。
学校でこのような問題が出ました。
「Aがエルミートであるとき,A^2(Aの2乗)もエルミートであることを証明せよ。」
これがどうしても分かりません。
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Aベストアンサー

>「Aがエルミートであるとき,A^2(Aの2乗)もエルミートであることを証明せよ。」
-----------------------------------------------------------
><f|A†|g>=<g|A|f>*のとき,A†=AとなったときAをエルミート演算子といいます。

内積空間H における定義らしいので、Aがエルミート(A†=A) なら、
<Aξ, η> = <ξ, Aη>   (任意のξ, η ∈ H)
が成立すると考えてよさそうです。

その条件下で、
<(AA)ξ, η> = <Aξ, Aη> = <ξ, A(Aη)>      (任意のξ, η ∈ H)
なのは明らか。つまり、(AA)† = (AA)。

…じゃいけないのでしょうか?


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