モンテカルロ法による円周率の計算

モンテカルロ法でπを計算したとして、1000桁の精度は出ますか。
真実のπが手元にないとして、どの桁まで正しいかどうやって判断しますか。
サンプル数が100億だと何桁までの精度があるといえますか。

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/03/16 18:50

モンテカルロ法は、複雑な（次元の高い）問題の場合は、ものすごく効率的な方法です。

なにしろモンテカルロ法以外のほぼ全ての知られているアルゴリズムは、問題の次元数のべき乗に比例して計算量が増えてしまう（「次元の呪い」といいます）のに対して、モンテカルロ法は、「問題の次元によらず」にサンプル数の平方根に反比例して誤差が減るので。

今流行りの人工知能（深層学習や、碁など）など、モンテカルロ法なくして実現不可能です。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/03/16 10:47

100億だと精度はざっと5桁です。

#確率90%で

1桁増やすのにサンプルは100倍必要です。
間違ってもモンテカルロで高精度な数値計算
しようなんて考えないで下さい。

計算が終わる前に地球がなくなっているかも(^-^;

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/03/15 22:39

ざっとした統計的な感覚でいえば、100億（10^10）のサンプル数の統計処理だと、標準偏差はその平方

　　√10^10 = 10^5
程度になります。

　これからいくと
　　統計値 × ( 1 ± 10^5/10^10) = 統計値 × [ 1 ± 10^(-5) ]
ですから、精度は± 10^(-5)程度、つまり有効数字5桁程度です。

　円周率の場合だと、
　　パイ = 3.1416
程度です。