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1512の1/5乗って、どう計算すればいいですか?
関数電卓を使わない解き方がわかりません

A 回答 (9件)

おっと、まだ受付中なのですね。


No.4です。単なる事務屋ですのでテーラー展開などは解らないのですが、
No.6の方の意見には「国家の品格」を思い出させていただきました。
さて、その道の方には根強い人気がある「計算尺」が登場しましたので
私も事務屋らしく「関数電卓を使わない」普通の事務電卓で...


1.y乗根
(シャープ)
1512√√√√√√√√+1÷=2=-1÷5+1÷=2=-1
(カシオ)
1512√√√√√√√√+1÷÷==2=-1÷5+1÷÷==2=-1×=×=×=×=×=×=×=×=
⇒4.3238314135

2.指数対数 No4より log x = (1/5)*log1512
(シャープ)
log1512は
1512√√√√√√√√+1÷=2=-1×222.36=[+-]
⇒3.1793526239
続けて
×1÷5 ⇒ 0.63587052478
10xを求めます。続けて
-222.36÷=444.72=+1×=×=×=×=×=×=×=×=
⇒4.3238314135
(カシオ)
1512√√√√√√√√+1÷÷==2=-1×222.36=[+-]×1÷5-222.36÷÷==444.72=+1×=×=×=×=×=×=×=×=
⇒4.3238314135

3.ニュートン法
初期値を4とした場合
4[M+]と打ってから次の操作を6~7回ほど繰り返すし収束させる。
シャープとカシオでは定数計算の違いから下記のようになるので注意

シャープのRCM機の場合 CM独立機の場合は[RCM][RCM]を[RM][CM]と打つ
×====×4+1512÷[RCM][RCM]====÷5[M+]

カシオのMRC機の場合 MC独立機の場合は[MRC][MRC]を[MR][MC]と打つ
××====×4+123÷[MRC]÷[MRC]÷[MRC]÷[MRC][MRC]÷5[M+]

⇒4.32424566014

4.二進数を利用する

1/5を二進数に変換すると
0.001100110011・・・ という循環小数になる
1512^(1/5)=1512^(1/2)^3×1512^(1/2)^4×1512^(1/2)^7・・・から
小数点以下の1に注目し
第3位に1があるので√を三つ打ってかける
第4位に1があるので√を四つ打ってかける
というように繰り返す。
シャープ・カシオとも

1512[M+]
√√√×
[RM]√√√√×
[RM]√√√√√√√×
[RM]√√√√√√√√×
[RM]√√√√√√√√√√√×
[RM]√√√√√√√√√√√√×
[RM]√√√√√√√√√√√√√√√×
[RM]√√√√√√√√√√√√√√√√×
⇒4.31796801839 
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ご質問の趣旨は関数付き電卓(もちろんパソコンなどの電子的に計算できる道具も含め)を使わずに、1512の5乗根の数値(近似値)を求める方法を示すことだと理解しました。

2種類考えました。

(1)ニュートン法で計算する
40年近く昔に高校の数学の時間に習った記憶があります。
f(x)=x^5-1512 として、f(x)=0 の近似解を求めます。
f(4)=4^5-1512=-488<0 f(5)= 5^5-1512=1613>0
また f'(x)=5x^4 で この区間ではf(x)は単調に増加していますので
4<x<5 であることがわかります。
x1=4 とすると  x2=4-(f(4)/f'(4))=4+(488/1280)=4.23…
x2=4.2 とすると x3=4.2-(f(4.2)/f'(4.2))=4.3318…
x3=4.33 とすると x4=4.33-(f(4.33)/f'(4.33))=4.3242…
(手計算でやるのは結構大変ですが…)

(2)計算尺(LL尺)を使う
昔ながらの求め方ですが、おおまかに値の見当をつける目的ならLL尺がついた計算尺を使うのが一番簡単かもしれません。カーソルを使ってLL3尺の1512とC尺の10を合わせ、カーソルをC尺の2に移動させてLL3尺の目盛を読めば約4.3であることがわかります。(器具を使うという点で少し?ですが、いわばアナログ計算機ですのでお許しください。)
「1512の1/5乗」の回答画像8
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#6です。



タイプの打ち間違いで、誤植がありました。


ε= 61/128 = 64/128 - 4/128 + 1/128 = 1/2 -1/32 + 1/128 = (1/2)x(1 - 1/16 + 1/64)

です。私は物理屋ですので、こんな誤植は日常茶飯事にやっており、それで間違えだと言う変な方は物理屋には居ないのですが、数学では、コンマをピリオッドに打ち損じたぐらいで、それを間違えだと言う変わった方が居られるようですので、必要ないとは思いますが敢て直しておきます。大学受験のなどは、誰が見ても回答者の誤植だったことが明らかで、その誤植を認識すればその回答が本質的には正しい場合でもそれを間違いだとする、世間一般には絶対に通用しないようなことがまかり通っている浮世離れした世界ですからね。

もし他に誤植を見付けたら、それを間違いだと言わずに、ご自分で直しておいて下さい。
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いやー驚きです。

皆さん、電算機やコンピューターや対数表等を使って、貴方任せで数学の計算をやるような時代になってしまったのですね。そう言えば、10年以上前に中学生だった私の子供が73÷4の計算をする時に、卓上計算機を使って計算しようとしてその計算機を探すのに5分以上の時間を掛けていました。その子の数学の学校の成績はトップクラスだったんですから、開いた口が塞がらりませんでした。今の時代の学校の成績が良い子供なんて、こんなレベルの奴を言うのか、と呆れたことを覚えています。

そのうちに誰かが答えてくれると思って待っていたのですが、結局今までその回答がない。皆さん、この計算を是非機械や表に頼らず、また、単なる試行錯誤でやらずに、ご自分の手で解析的に計算して答えを出しましょう。

1512^(1/5) = 1024^(1/5)x(1 + 488/1024)^(1/5) = 4x(1 + 61/128)^(1/5)

ですね。一方、61/128 は1よりも小さいので、1/2-3/128 によるべき展開は必ず収束します。だから、

f(a+ε) = f(a) + (1/1!)εf'(a) + (1/2!)ε^2f"(a) + (1/3!)ε^3f'''(a) + ...

という、理系の学生だったら誰でも空で暗記していなくては成らないテーラー展開を使って、関数fをaの周りでεのベキで展開し、

f(x) = x^(1/5)

a=1、ε=61/128

を代入すれば、後は四則演算で好きなだけの近似で答えが求まるではないですか。

だから、

1512^(1/5) = 4x[1+ 61/128]^(1/5) = 4x[1 + (1/5)(61/128) + (1/2)(1/5)(-4/5)(61/128)^2 + ...]

となります。一方、

ε= 61/128 = 64/128 - 4/128 + 4/128 = 1/2 -1/32 + 1/128 = (1/2)x(1 - 1/16 + 1/64)

ですから、大変良い近似ではεを1/2=0.5で近似できる。面倒くさいので、ここではε= 1/2 と近似してその一次までの計算結果しか書きませんが、その場合の答えは 

1512^(1/5) = 4x1.1 + O(1/2^2) = 4.4 + O(1/2^2)

になりますね。もっと近似を上げたいのだったら、

(1 + 1/16 + 1/64)^n 

をまた1の周りでテーラー展開した物を使えば、簡単に計算が出来ます。後はご自分でやって下さい。

余談に成りますが、ソビエト連邦が崩壊した時にそこの多くの科学者達がアメリカやヨーロッパにどっと流れて来ました。昔のロシアでは、アメリカやヨーロッパほどコンピューターの性能が良くなかったので、彼等は重要な計算をコンピューターに余り頼らず、ほとんどの計算を数学的に解析的に解きながらいろいろな問題を解決する訓練を受けていました。その結果、ロシアの科学者はアメリカやヨーロッパの科学者と比べて抜群に計算力があります。そのため、彼等が西側に流れて来た後は、多くのアメリカやヨーロッパの大学の著名な理系の研究所のポジションをロシア系の科学者に盗られてしまい、そのおかげで、電算機がなくては計算が出来ない多くのアメリカ人やヨーロッパ人の研究者達は職を失ってしまったのですよ。それを他山の石として、回答者の皆様も含めて反省してもらえると、この質問も有意義だったことになりそうですね。
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二分法やニュートン法があります。


1512^(1/5)を求めるということは、f(x)=x^5-1512として、f(x)=0の解を求めるということです。
(1)二分法
この方法は、不等式で解をはさみこみ、その幅を半分にしていく方法です。
まず、解をpとして、f(4)=-488,f(5)=1613から4<p<5はグラフからすぐわかると思います。
次に、4と5の平均値9/2について、f(9/2)=333.28...>0ですので、4<p<9/2が言えます。
さらに、4と9/2の平均値17/4について、f(17/4)=-125.42...<0ですので、17/4<p<9/2が言えます。
同様に、17/4と9/2の平均値35/8について、f(35/8)=90.84...>0ですので、17/4<p<35/8が言えます。
これを繰り返して不等式の幅を半分にしていきます。後2回繰り返せば、69/16<p<139/32が導けます。
4.3125<p<4.34375
この中間値277/64=4.328125をpの近似値とすれば、誤差は1/64=0.015625=1.5625*10^(-2)以下です(ちなみに、真の値は4.32424566021...ですので、誤差は0.00390...=3.90...*10^(-3)です)。
この方法の良いところは、
i)機械的にできる。(→コンピュータでやりやすい。2で割ることしかしないのもCPUにやさしい。)
ii)一般性がある。どんな(連続)関数に対しても適用でき、初期値をきちんと選べば必ず解に収束する。
iii)必要な精度から計算量をきちんと見積もれる。(→誤差は必ず1/2倍になるので、何回やればいいかわかる。目標があると安心してできるものです。)
逆に、欠点は、
i)意外と面倒くさい。(→やってみれば分かります。正直に言うと、電卓を使いました。)
ii)ニュートン法と比べて若干遅い。

(2)ニュートン法
以下の操作で近似数列を得ます。
<I>
適当にa[0]=aを選びます。
<II>
a[n]に対して、曲線上の点(a[n],f(a[n]))での接線lとx軸との交点のx座標をa[n+1]とします。計算すると、
a[n+1]=a[n]-f(a[n])/f'(a[n])
となります。今、f(x)=x^5-1512ですから、
a[n+1]=4a[n]/5+1512/(5a[n]^4)
です。
(ニュートン法については、http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5% …http://akita-nct.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/non …などを参照)
たとえば、a=4として計算していくと、
a[0]=4
a[1]=701/160
a[2]=208910107703501/48294988560200
a[3]=497233465184106924865656292944425428879675975052946104980305190911017501
/114987304218392901251000081546750801105408063238443498705825654614200250
となります。a[3]を計算すると4.3242466510...です。
真の値が4.32424566021...なので、誤差は9.9087791...*10^(-7)です。たった3回で先ほどと比べて
3915倍の精度です。
ニュートン法の長所は、
i)圧倒的な収束の早さ(→1回の計算で誤差が(1/2)乗になる。二分法よりはるかの高速)
ii)機械的にできる。
iii)得られる分数がなぜか最良近似分数だったりする。(→これについては僕の思い込みかもしれません)
などがありますが、欠点も多く、
i)手計算じゃ限度がある。(→a[3]とか無理ですよ。電卓を使いました。すいません。)
ii)必ずしも回に収束するとは限らない。(→先ほどのリンクにもありましたが、振動したりします)
iii)二分法と比べ、適用できる関数の制限が厳しい。(→そもそも微分できなきゃいけません)


どちらの方法も、運に左右される要素はありません。No.2の方法ですと、(4,5)→(4.3,4.4)→(4.32,4.33)→という風に進めばかなり計算量は抑えられますが、(4,5)→(4.9,4.8,4.7,4.6,4.5,4.4,4.3,4.2)→とかだとかなり面倒です。まぁ、この方法も簡単で捨てがたいんですが。
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常用対数表が必要になりますが...



X=1512^(1/5) はlogをとると
log(1512)X=1/5 であり、公式から
log X = log 1512 × 1/5 となる。

常用対数表からlog 1512 は 
 小数部 1795518
 整数部 1512が4桁なので3
 つまり log 1512 = 3.1795518 となるので

log X = 3.1795518 ×1/5
log X = 0.63591036

次にlog Xのlogを取るため常用対数表を逆引きすると
X は4.324 と 4.325 の間になることが分る。

精度が足りなければ、もっと桁数の多い常用対数表を使うか、回答者No.2様の方法で導き出す。

常用対数表 http://www.pi-sliderule.net/sliderule/others/log …
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今後の応用のための追記。



ご質問の「1512の1/5乗」は「1/5の逆数乗すると1512になる数」なので「5乗すると1512になる数」になります。

「5乗すると」になったので、単純に5回掛け算すれば求められます。

ですが「1512の2/5乗」となると、そう簡単に行きません。

1512の2/5乗は「2/5の逆数乗すると1512になる数」なので「5/2乗すると1512になる数」になります。

「5/2乗すると」になるので、単純な掛け算は出来ません。

考え方を少し変えて「5/2乗は、5乗して更に1/2乗する」と言うように、分解しなければなりません。

分解して整理すると「5/2乗すると1512になる数」は「5乗すると1512になる数の2乗」になります。

「5乗すると1512になる数」は、最初の問題と同じなので「5回掛け算」で求まりますね。

あとは、求まった「4.32424566021…」を2乗(4.32424566021…×4.32424566021…)すれば「1512の2/5乗」が求まります。

この方法を使えば「ある数aのn/m乗」を自在に求める事が出来ます。
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「5乗して1512になる数a」を求めればよい。



まず、1×1×1×1×1を計算してみる。答えは1なので、aは1より大きい。

次に、2×2×2×2×2を計算してみる。答えは32なので、aは2より大きい。

順に計算すると、4×4×4×4×4は1024、5×5×5×5×5は3125なので、aは「4と5の間」と判る。

次に、4.5×4.5×4.5×4.5×4.5を計算する。答えは1845.28125なので、aは「4と4.5の間」と判る。

次に、4.4×4.4×4.4×4.4×4.4を計算する。答えは1649.16224なので、aは「4と4.4の間」と判る。

次に、4.3×4.3×4.3×4.3×4.3を計算する。答えは1470.08443なので、aは「4.3と4.4の間」と判る。

次に、4.35×4.35×4.35×4.35×4.35を計算(以下略)

このように、

4と5の間

4.3と4.4の間

4.32と4.33の間

4.324と4.325の間

4.3242と4.3243の間

(略)

4.32424566021082299805712562494と4.32424566021082299805712562495の間

4.324245660210822998057125624944と4.324245660210822998057125624945の間

4.3242456602108229980571256249442と4.3242456602108229980571256249443の間

(以下略)

と、必要な桁数になるまで、範囲を狭めて行って「近似値」を求めます。

「単純な掛け算だけ」なので、紙と鉛筆だけで求められます。

なお「エクセルの計算式で求める」は「関数電卓を使うのと同然」であり題意に沿っていませんので「不正解」です。
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スプレッド・シートなら、セルに


 =1512^(1/5)
と書き込んで、結果をみればよい。
   
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