三角形の面積・・・ヘロンと座標法答えが違う?

Question

ただいま仕事で展開図を作っています。
そこで三角形の面積を求めるのにヘロンの公式を使っていますが
座標法で求めたものと数値が違います。

座標法での計算式は
http://www.hat.hi-ho.ne.jp/sokubou/mensekirei.htm
のURLにあるやりかたです。
なお座標は、CAD上で読み取った簡易的なものです。

ヘロンの公式と、座標法ならどちらの方が真値に近いのでしょうか?

fukkyse · Accepted Answer

＃５．６です。回答する前に閉じられては…と思い、＃６の回答は大急ぎだったので補足を。
誤差はあると思ってはいたのですが、検証したことがなかったので良い機会だと思い、実験してみました。

先ほどの回答、辺長A＝0.9、辺長B＝2.6、辺長C＝2.491が検証の基準です。

座標点b：2.337,717.861　は、8桁では
座標点b：2.33751558,717.86087277

この時点で、誤差はしょうがないと諦めなければ仕方ありません。計算結果は先の回答。

この図形を縦横ともに1000倍し、結果を1000000で割った場合

座標計算値は：1.11913460214394となり、ヘロンの公式との差が大きくつめられました。
↑必要な精度によっては、このような手法も考えられるという例です。

先ほどの0.3-0.2-0.1+0の例は、コンピュータでの計算には誤差が必ずあるので、信頼できる範囲に限りがあるということです。0.1という十進数は二進ではありえない数値です。参考は、
http://pc.nikkeibp.co.jp/pc21/special/gosa/index.shtml

ヘロンの公式については、Excelにて
A,B,C列に各辺の値
D列：=IF(OR(A6="",B6="",C6=""),"",SUM(A6:C6)/2)
E列：=IF(ISNUMBER(D6),(D6*(D6-A6)*(D6-B6)*(D6-C6))^0.5,"")
として計算しております。余分なIF関数と、6行目から始まっていることは、こちらの既存ファイルからのコピーですのでお許しを…。

hrm_mmm · Answer

＞＞=0.3-0.2-0.1+0
＞不思議なことをエクセル君言っております。
＞-2.7756E-17？？？
有理数を２進数に置き換える時に、誤差が生じてしまうからです。
excelでのその過程を概説しているページを見つけたので。
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/software/excel/roundoff.html

これを、きちんと計算するには、10進演算プログラムというものが必要です。
BCD（2進化10進数，つまり2進の計算機での10進法のエミュレーション）とも言われます。
概念的には、各桁毎に変数を用意してそれぞれ０～９のみを入れて、筆算をするごとく、一個ずつ計算して、答え用の各桁用変数にデータを入れていくといったイメージです。
しかし、計算時間が長くなるので、科学計算とか、お金を扱うプログラムなど、精度管理の重要なものに使われます。
phyton用だけど演算方式の違いの説明が載ってるページ
http://www.python.jp/doc/release/lib/module-decimal.html

プログラマーでないなら細かいところは必要ないですけど、どのプログラムで計算させるかの参考程度に述べてみました。

fukkyse · Answer

＃５です。＃４様へのお礼を拝見いたしましたが、
ヘロンの公式間違えていませんか？

辺長A＝0.9
辺長B＝2.6
辺長C＝2.491

を元に計算した結果
座標での計算：1.11913460100002
ヘロンの公式：1.11913460214352
キャドデータ：1.11913460

となりましたが。

fukkyse · Answer

＞PCを使う以上避けては通れない道ですかね^^;
そのとおりだと思います。

座標法、ヘロンともに面積計算に利用しています。
誤差を少なくするために、座標抽出は、CAD側にて小数点以下8桁として行い、抽出データをExcelに貼り付けて計算しています。やっている感じとしては、CADから辺長を抽出し「ヘロンの公式」で行ったほうが、やや正確な気がしますが、作業効率を考えると圧倒的に座標計算です。計算結果とCADのオブジェクトデータ（これも抽出し貼り付け）を比較して、小数点以下○位の四捨五入で＝ならば"OK"という判定で検算しております。

※使用CAD：AutoCADLT2000、Excel2000

コンピュータに限らず計算には誤差はつき物なので、どれだけの精度が必要か？という部分の吟味が必要だと思います。

余談ですが、Excelにて=0.3-0.2-0.1+0を計算してみてください。あれ？

Willyt · Answer

>PCを使う以上避けては通れない道ですかね^^;
  仰有るとおりです。ただ両者の違いはほんの僅かの筈で、実害のない程度のものではないのでしょうか？　よほど精密な仕事ではない限り、有効数字３桁もあれば上等の場合が殆どなので、多少の食い違いには目をつぶるということも大切なのかも知れませんね。

kaduno · Answer

＃２です。

＞ご回答がイメージできません。

適当な直角三角形で説明しますと

　A(0,2)
　｜＼
ｃ｜　＼b
　｜　　＼
　B－－－－C
　(0,0) a (1,0)

・a辺(BC辺)はＸ軸と水平で長さが１
・c辺(AB辺)はＹ軸と水平で長さが２
その場合、
b辺(AC辺)は長さが√５で無理数になりますので、各辺の長さから解を求めるヘロンの公式では、途中の計算でズレが生じます。

kaduno · Answer

ヘロンの公式を用いて三角形ＡＢＣの面積を求めた場合、仮にa辺を下にしてＸ軸と水平にした場合、b,c辺の値が無理数になる場合がありますよね。
その値とコンピューターの有効数字のズレではないでしょうか。

Willyt · Answer

コンピュータでプログラムされているのでしょうか。アルゴリズムと入力データが同じなら結果は同じ筈です。ヘロンの公式を使うには座標値から三角形の長さを計算しなければなりませんね。そこで間違いが起きているのではないでしょうか？

　誤差の問題だとすればこれはかなり複雑ですね。コンピュ－タで生じるのは桁落ちの誤差ですが、これは計算の過程、データの桁に左右されるので何とも言えません。

例えば４桁しか扱えないコンピュ－タがあったとして

１０００－０．１は１０００になってしまいますよね？　そんな感じです。

三角形の面積・・・ヘロンと座標法答えが違う?

＃５．６です。

＞＞=0.3-0.2-0.1+0

＃５です。

＞PCを使う以上避けては通れない道ですかね^^;

>PCを使う以上避けては通れない道ですかね^^;

＃２です。

ヘロンの公式を用いて三角形ＡＢＣの面積を求めた場合、仮にa辺を下にしてＸ軸と水平にした場合、b,c辺の値が無理数になる場合がありますよね。

コンピュータでプログラムされているのでしょうか。

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