射影幾何学：同時座標の直線

射影幾何を勉強しはじめたのですが、いきなり躓いてしまいました。

(１)．同次座標(m1,m2,m3)の点はm3!=0のとき画像座標(f*m1/m3, f*m2/m3)の点を表す。
(２)．同次座標(n1,n2,n3)の直線はn1!=0, n2!=0 のとき、画像面上の直線n1x + n2y + n3f = 0を表す。

上記(１)はイメージ出来るのですが、(２)がイメージ出来ず困っています。
図に書くとどうなるのでしょうか？

同次座標n1,n2,n3は(1)から画像座標(f*n1/n3, f*n2/n3)を通ると思うのですが、
(2)の直線の方程式のx と y にこれを代入して整理する（両辺にn3/fをかける）と
n1^2 + n2^2 + n3^2 = 0　という訳の解らない式が出来上がってしまいます。

(2)の同次座標(n1,n2,n3)と画像面上の直線n1x + n2y + n3f = 0を図等で説明していただけると
とても助かります。
よろしくお願いします。

No.5 回答者： hiccup 回答日時： 2016/03/26 21:53

図に描いてみたぞ。

力作じゃ（自己評価）

図中の「点」と「直線」がお望みのものじゃ。
淡い青色の平面が画像面、淡い赤色の平面が n1x + n2y + n3z = 0。
(n1,n2,n3) がある原点を通る直線（図中の破線）は淡い赤色の平面に垂直。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2016/03/26 21:30

> 同次座標n1,n2,n3は(1)から画像座標(f*n1/n3, f*n2/n3)を通ると思うのですが、

いや、そうはいかない。「同次座標(m1,m2,m3)の点」と「同次座標(m1,m2,m3)の直線」は全く意味が異なるんす。単に「同次座標(m1,m2,m3)」というだけではどっちを意味しているか決まらない。

> 同次座標(n1,n2,n3)の直線はn1!=0, n2!=0 のとき、画像面上の直線n1x + n2y + n3f = 0を表す。

まずは射影する前の、３次元の空間で何が起こっているか。
２つの点n=(n1,n2,n3)とp=(x,y,f)を考えれば、
　　n1x + n2y + n3f = n・p = 0　　（・は内積）
という式。これを満たす点pは、nに直交しさえすればなんでも良い。つまりこれを満たすpの集合を
　　P = { p | n・p = 0 }
とすると、Pは原点を通る平面であって、その法線ベクトルはnと平行である。
　というわけで、Pと「画像面」（って、z=fの平面でしょ？）との交線が（Pと「画像面」が平行（n1=0, n2=0)の場合以外なら）できますね。「同次座標(n1,n2,n3)の直線」が表す「画像面上の直線」というのは、この交線のことを指している。
　言い換えると、平面
　　P = { (x,y,z) | n・(x,y,z) = 0 }
と平面 （「画像面」）
　　Q = {(x,y,z) | z=f}
の交線を表す連立方程式
　　n1x + n2y + n3z = 0
　　z = f
を解いて、「画像面」Q(すなわち平面z=f)上の2次元座標系(x,y)における直線の方程式
　　n1x + n2y + n3f = 0
を得る、という仕掛け。

No.3 回答者： hiccup 回答日時： 2016/03/26 16:52

No.１＆２だが、f を理解した。

「画像面」でピンとくるべきだった。１＆２は忘れてもらいたい。

R^3 において、平面 z=f をスクリーンに見立て、直線 t(m1, m2, m3) との交点があるならそれを「点」、平面 n1 x+n2 y+n3 z=0 との交線があるならそれを「直線」という、
ということだったか！

だから、スクリーン z=f と平面 n1 x+n2 y+n3 z=0 との交線と理解してはどうだろうか。これがわからないんだよ！というのなら、わからないと返事してもらいたい。

No.1 にも書いているが、ベクトル (n1, n2, n3) は平面の法線ベクトルだから、この延長がスクリーンと交わるところ、つまり「点」は「直線」上にはないよね？

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2016/03/25 19:48

嘘を書いていた。

> 私たちの経験と異なるのは、振り返ると同じ景色を見るところである。

同じ景色ではなかった。裏返ってるね。気持ちわるッ。

No.1 回答者： hiccup 回答日時： 2016/03/25 19:39

R^3 における１次元ベクトル空間を点とみなす。

この点の集まりが P^2 である。
また、２次元ベクトル空間を直線とみなす。これを射影直線という。
P^2 は R^3 の原点から見る景色に似る。１次元ベクトル空間や２次元ベクトル空間は、天球の星や人工衛星の軌跡のように見えるが、私たちの経験と異なるのは、振り返ると同じ景色を見るところである。

こうして P^2 においては、直線は輪っかみたいになっているとか、２つの直線は必ず１点で交わるとか、２点を通る直線がただ１つ存在するとかが実感できるのではなかろうか。

さて、質問は、P^2 を平面でカバーする話に関連する。ここでは参考のために、同次座標から来る３平面での、最もシンプルなカバーの話をする。この平面は P^2 の世界地図だと思ってよい。ただ残念なことに地図には限界があって全体が入り切らない。そのため、複数枚でようやく世界全体を写せるのである。

同次座標で (x:y:z) と書くとき、P^2 を z≠0 の部分と z=0 の部分に切り分けよう。
z≠0 の部分とは (x/z:y/z:1) と表示できるから R^2 とみなせ、z=0 の部分は R^3 の２次元ベクトル空間だから直線であり (x:y:0) と書けるから P^1 とみなせる。
この平面に見える部分を XY平面と書くことにする。
同様に、x について YZ平面と P^1 に、y について ZX平面と P^1 に切り分ける。
この３つの平面で、P^2 の全体がカバーされる。

P^2 は、平面に見える部分とその平面からは到達できない所とでできているが、カバーしている平面を乗り換えれば、到達できなかった部分がそこにあったりする。

添付図は、x+2y+3z=0 がそれぞれの平面でどう見えるのか、である。○ は無限遠直線、平面からは到達できない所である。
左の図が回答になるだろう。


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ところで、(1) の f* 、(2) の f とは何なのだろうか？

それから、R^3 では平面 n1x + n2y + n3z = 0 とベクトル (n1, n2, n3) は垂直なので、その平面上にその点はないのだが、何がしたかったのか。

でたらめ書いている可能性があるので熟慮するように。参考になれば幸いである。