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f(x)>0とはどういうグラフなのですか?
グラフが下に凸の場合
グラフが上に凸の場合
それぞれ教えてください!

馬鹿な質問なんですが…

質問者からの補足コメント

  • 分かりづらい質問で申し訳ありませんでした。わからない問題を聞いてしまった方が早かったですね(._.) 高1数学です。

    f(x)=ax2乗+4x+aが次の条件を満たすとき、定数aの範囲を求めよ。
    (1)xのすべての値に対してf(x)>0となる。
    (2)f(x)>0となるxが存在する。

    この2問について。
    (1)の解答では、a=0のときと、a≠0のときの場合に分けています。
    (2)の解答では、a=0のとき、a>0のとき、a<0のとき、と3通りに分けてます。

    なぜこういう場合わけをするんだろう、とずーっと考えるうちになんだか訳がわからなくなってしまいまして、
    f(x)>0とは?a<0??
    と、パニック状態です…笑

    (1)はなぜ、(2)のような分け方にしないのですか?
    それぞれの場合において、どのような形のグラフなのかイメージできません。

      補足日時:2016/04/05 17:38

A 回答 (8件)

これは、二次曲線グラフの書き方に関する問題ですね。

 平方完成させると、
f(x)=ax²+4x+a
=a(x²+(4/a)x+1)
=a(x+2/a)²+a-4/a

(1)最後の4/aというものはaが0の時は計算できませんので、別途考える必要があるためです。 ちなみにa=0であればf(x)=4xですので、すべてのxで条件を満たせません。 さらにa<0の場合は下に伸びていく(上に凸)なグラフですので、条件を満たせません。 なので、a>0で原点がx軸より上にあればすべてのxにおいてf(x)>0になります。

なので、
a>0 と a-4/a>0 の双方を満たす範囲のaを求めればよいわけです。
a²-4>0
(a+2)(a-2)>0
となりますから、a>2ということになります。

(2)の場合は、一部でもx軸の上にグラフがかかっていればよいので、上に凸なグラフも含みますので、a<0の場合も考慮に入れなくてはいけないということになります。
a<0の場合は
a²-4>0 ⇒(a+2)(a-2)<0
ここの不等式の向きが逆になるのがポイントです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます~!!
とっても分かりやすいです!!
助かりました本当に!
他にも解答してくださった皆様、
ありがとうございました!!

お礼日時:2016/04/05 20:59

(2)はやっぱり、


a-4/a>0 でa<0で考えるなら、a²-4<0ですね。
(a-2)(a+2)<0,a<0ですから、

a<-2、-2<a<0 の範囲で(a-2)(a+2)<0を満たすかを考えないといけないことになりますね。 ANo.6は無視してください。 なので、

(2)は(1)の範囲に加えて、-2<a≦0になります。

なんだか、混乱させしまっていて、本当にすみません。
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あ、あと、


(2)では、a=0の時も条件は満たしていますので、、、

何度も申し訳ありません。
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違った、、


× a²-4>0 ⇒(a+2)(a-2)<0
× ここの不等式の向きが逆になるのがポイントです。

(a+2)(a-2)>0
a<0,a+2<0で(a-2)<0のケースも入れるということです。

すみません。
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No.1&2です。



f(x)>0   (1)

という式自体には、「グラフ」という概念はなく、単なる「x に関する不等式」です。

これを解く解き方のひとつとして、
  y = f(x)
のグラフを書いて、そのグラフ(曲線)の y>0 が存在する部分に対応する「xの範囲」が、不等式(1)を満たす x の範囲である、というものがあります。

そのグラフのことをいっているのだと思いますが、違いますか?

それは
・y = f(x) のグラフが二次曲線で下に凸の場合
・y = f(x) のグラフが二次曲線で上に凸の場合
だろうが、
・y = f(x) のグラフが三次曲線
・y = f(x) のグラフが三角関数
だろうが、f(x) がどんな関数でも使えます。
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集合なら: y=0 を点線で引いて上半分を塗りつぶしたもの。




f'(x)>0 (∀x∈R) の話なのであれば、
f(x)は絶えず増え続けるグラフになる(直線であれば、y=xのような右上がりのグラフ)

下に凸とか上に凸とかはちょっと意味が分かりません。
どの学年のあたりの数学なのか教えていただければ、もしかしたらもう少しまともな回答ができるかもしれません。
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No.1です。

補足します。

y=f(x) というグラフは、x に適当な値を入れて y の値を計算し、「x-y」の2次元のグラフ用紙にプロットして、そのプロット点を滑らかにつないでみてください。滑らかにつながらないようなら、その間を埋める「x の適当な値」を追加して計算してプロットを追加してみてください。

これが「グラフを書く」基本です。

自分でグラフを書けなければ、「どういうグラフか」は分かりません。
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f(x)>0 というグラフは書けません。



y=f(x) というグラフを書いて(その形は f(x) の内容に応じて千差万別)、その「y>0 の領域(x軸よりも上の部分)」が求めるものになります。
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