この関数のグラフを描きたいのですが・・・

曲線の式は、
X＾2＋（Y-3√（X^2)）＾2＝1

3√は３乗根の意味です。

Xの範囲が、-1＜＝X＜＝+1 ということ、グラフはY軸を中心として左右対称というところまでは解ったのですが、どうやってグラフを描けばよいかが解りません。

どうかよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/31 08:08

xを-xとおいても方程式は変わらないのでy軸対称のグラフになります。

従って、x≧0の方のグラフが描ければx≦0の方はx≧0のグラフをy軸で折り返せば得られます。
従ってx≧0の方のグラフを考えれば良いでしょう。

　X^2＋(Y-3√(X^2))^2＝1 ,,,(1)
（これはY軸対称のハート型のグラフの方程式として知られています。
グラフは添付図赤実線のようになります。）

(1)をyについて解けば
　Y=(X^2)^(1/3) ±√(1-X^2)...(2)
すなわち 0≦X≦1として
　Y=X^(2/3) +√(1-X^2)　...(2-1)
と
　Y=X^(2/3) -√(1-X^2) ...(2-2)

(2-1)は Y=X^(2/3)とY=√(1-X^2)(中心原点、半径1の4分円)のグラフを0≦X≦1にわたり加えれば描けます。
Y≧1のグラフとなります。
X=0とX=1でY=1となり、上に凸の円い山型のグラフになります。
（添付図のハート型の右半分の上の山の部分）

(2-2)はY=X^(2/3)とY=-√(1-X^2)をのグラフを0≦X≦1にわたり加えれば描けます。
Y≦1のグラフとなります。
X=0でY=-1,X=1でY=1となる単調増加関数のグラフになります。クラフの左側が上に凸、右側が下に凸のグラフになります。
（添付図のハート型の右半分の下側部分）

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20111205/p1

この回答へのお礼

お礼遅くなりまして失礼します。
私はＹ＝・・・の形にして、微分して極大・極小、増加の仕方から一発でグラフを描こうとしていました。
ご教授ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/12 01:30

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/08/01 16:07

No.1です。

ANo.1のハート形の図で左上のYが最大となる点の座標(X,Y)について

　X^2+(Y-X^(2/3))^2=1 (0<X<1)
Yについて解いて
　Y=X^(2/3)+(1-X^2)^(1/2) (0<X<1)
X^(2/3)=t (0<t<1)とおいて
　Y=t+(1-t^3)^(1/2)
　dY/dt=1+(1/2)(-3t^2)/(1-t^3)^(1/2)=1-(3/2)t^2/(1-t^3)^(1/2)
　　={2√(1-t^3)-3t^2}/{2√(1-t^3)}
dY/dt=0より
　2√(1-t^3)-3t^2=0 (0<t<1)
　2√(1-t^3)=3t^2
両辺自乗して
　4(1-t^3)=9t^4
　9t^4+4t^3-4=0
この４次方程式は2実数解と2虚数解を持ちます。2実数解の内、片方は負ですので0<t<1を満たす実数解は１つのみです。
このtの値は次の複雑な式になります。筆算では導出は無理でしょう。
ニュートン法でなら簡単に数値計算でt,X,Yの近似値が求められます。

t=-(2*(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)^(1/4)*(√109-1)^(1/6)-√2*
√(2^(7/3)*√(√109-1)-√(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)*(9*2^(2/3)*(√109-1)^(2/3)-4*(√109-1)^(1/3)-27*2^(4/3)))+2^(2/3)*
(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)^(3/4))/(18*(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)^(1/4)*(√109-1)^(1/6))
≒0.72445780519907
X=t^(3/2)
=〔[-2{9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54}^(1/4)
*(√109-1)^(1/6)
+√2*√{4*2^(1/3)*√(√109-1)-√(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)*(9*2^(2/3)*(√109-1)^(2/3)-4*(√109-1)^(1/3)-54*2^(1/3))}
-2^(2/3)*
{9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54}^(3/4)]^(3/2))〕
/[54√2*{9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54}^(3/8)
*(√109-1)^(1/4)]
≒0.61662289189582　←ハート形右上の最大値をとる点のX座標
Y≒1.511716472467995 ←ハート形右上の最大値の点のY座標

この回答へのお礼

置換、忘れていました。
補足ありがとうございます。

陰関数の微分とかでもっと簡単に求められるのでは？と思っておりました・・・

お礼日時：2013/08/12 01:39

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/01 00:30

y軸対称であることが判ったら、x≧0 の部分を考えたらいいです。

そこでは、√(x2乗) = ｜x｜ = x ですから、
問題の式は x2乗 + (y-3x)2乗 = 1 となります。
左辺を展開すると、10x2乗 - 6xy + y2乗 = 1 です。
下の式形を見れば、二次曲線であると判り、
上の式形を見れば、x,y が有界ですから、
要するに、これは楕円の方程式です。
問題の図形は、楕円を y 軸で切って
対称に繋げたものだと解ります。

半分の楕円の形を決定するには、
二次形式の知識があるとよいのですが、
最近は、教わらないのかもしれません。
行列 A を、A =
　　10　　-3
　　-3　　1
と置いて、方程式を (x y) A (転置(x y)) = 1
と変形し、A を対角化すれば、
固有ベクトルが楕円の軸方向となり、
長軸短軸の長さも判ります。

この回答へのお礼

お礼遅くなりまして失礼します。
私はＹ＝・・・の形にして、微分して極大・極小、増加の仕方から一発でグラフを描こうとしていました。
ご教授ありがとうございます。

お礼日時：2013/08/12 01:33